DFT_FFT_APP-1

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1、DFTandItsFastComputation(part-1)问题的提出（1）连续信号xa(t)，其傅氏变换为xa(t)为时域连续信号，Xa(Ω)为频域连续信号。问题的提出（2）离散信号x(n)，其傅氏变换为x(n)是离散序列，但仍然是连续的。问题的提出（3）数字系统的基本特征：1、无法处理模拟量；2、存储能力总是有限的。目标：相应于数字系统的基本特征，针对有限长序列定义变换，并要求变换结果仍为有限长序列。应用：1、无限长序列的分段处理；2、基于数字系统的信号频域特征分析。DFS与DFT导出（1）频域取样分析基础DFS与

2、DFT导出（2）频域取样分析(cont’d)周期序列的DTFTDFS与DFT导出（3）频域取样分析(cont’d)nN0k0N-N1/T-N周期序列的DTFT，离散谱离散化了主值序列的频谱频域采样DFS与DFT导出（4）频域取样分析(cont’d)DFS与DFT导出（5）频域取样分析(cont’d)DFS与DFT导出（6）周期序列的离散付氏级数（DFS）有限项复指数序列的加权和；直流分量、基频分量和各次谐波；实周期序列DFS系数的特点。DFS与DFT导出（7）是x(n)的周期延拓，因此，可写成用符号((n))N表示求n对N的

3、余数，上式又可写为：DFS与DFT导出（8）通常把周期序列的第一个周期n=0到N-1定义为“主值区间”,x(n)就是的“主值序列”利用矩形序列，上式可表示为：DFS与DFT导出（9）同理，有限长频域序列X(k)就是周期序列的主值序列，即：DFS与DFT导出（10）DFT的导出目标：为了便于表示和处理的频域特征，由定义有限长序列步骤：频域采样与DFSDFS与DFT导出（11）DFT的导出—隐含着周期性；—严格的数学定义，明确的物理含义；Z变换与DFT的关系（1）Z变换在单位圆上的取样令x(n)为有限长序列Z平面ReIm1Z变换

4、与DFT的关系（2）Z变换的内插表示一个（N-1）阶极点，z=0；（N-1）个一阶零点，如下：Z变换与DFT的关系（3）DTFT的内插表示Z变换与DFT的关系（4）内插的物理含义DFS与DFT的性质（1）DFS的性质线性DFS与DFT的性质（2）DFS的性质序列的周期移位序列周期移位特性的证明DFS与DFT的性质（3）DFS的性质DFS与DFT的性质（4）DFS的性质对于实序列:DFS与DFT的性质（5）DFS的性质周期卷积周期卷积证明DFS与DFT的性质（6）DFT的性质线性关系DFS与DFT的性质（7）DFT的性质反转定

5、理序列的循环移位DFS与DFT的性质（8）DFT的性质序列的循环移位DFS与DFT的性质DFS与DFT的性质（9）DFT的性质对称性设x(n)的DFT为X(K），则DFS与DFT的性质（10）DFT的性质帕斯瓦尔定理设x(n)的DFT为X(K），则循环卷积1.定义设是长度为N的有限长序列，定义循环卷积为：循环卷积与周期卷积的关系循环卷积若则例：设，计算4点循环卷积循环卷积解：注意为3点序列，进行循环卷积之前在其尾部填一个零，使其成为4点序列，我们分别在时域和频域中求解这个问题。（1）时域方法4点循环卷积由下式给出对每一个n产

6、生一个循环移位序列，将它的样本逐个与相乘，然后求和，得此n值的循环卷值，在0≤n≤3上重复此过程。考虑n=0时，n=3时，因此n=2时，n=1时，（2）频域方法：首先计算x1(n)和x2(n)的4点DFT，逐个样本相乘，取逆DFT，得到循环卷积。则IDFT后循环卷积和线性卷积的关系在实际问题中，碰到的问题大多数是求解线性卷积，例如，一个LSI系统，输出y(n)为：可用循环卷积代替线性卷积，在计算速度上可提高许多倍。循环卷积和线性卷积的关系线性卷积的长度：设x(n)和h(n)均为有限长序列，长度同为N的长度为，位于集合之上循环

7、卷积和线性卷积的关系对作周期为频域采样，可得：两边取IDFS，则有：循环卷积和线性卷积的关系设x(n)是长度为N1的有限长序列，h(n)是长度为N2的有限长度序列，且N1大于N2因此，循环卷积等于线性卷积的条件是：用DFT求线性卷积设若则即时域循环卷积频域相乘因此用DFT求线性卷积如果循环卷积的长度L满足，则此循环卷积就等于，的线性卷积。用流程图表示法求的过程如下：因为DFT，IDFT都是快速算法，因此，线性卷积也可以实现快速算法。用DFT求有限长序列线性卷积在许多实际问题中常需要计算线性卷积，例如一个FIR数字滤波器的输出

8、等于输入与滤波器的单位取样响应的线性卷积。如果能将线性卷积．转化成循环卷积，那么根据DFT的循环卷积性质，就能够用循环卷积来计算线性卷积，而循环卷积可以用FFT进行快速计算。