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1、Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究摘要：对Fourier变换、Gabor变换和小波变换进行比较，从Fourier变换的定义出发进行分析阐述，指出了Fourier变换不具有局部化分析的功能以及时频完全分离的缺点。通过对Gabor变换的核函数进行时频两域分析，说明了它品质因数是不恒定的以及它的一些缺陷;最后对小波变换的核函数进行分析，论述了小波变换具有品质因数恒定和多分辨率分析等优点。关键词:Fourier变换，Gabor变换，小波变换Abstract:Fouriertransform,Gabortransformand
2、wavelettransformwerecompared.FromthedefinitionofFouriertransformaconclusioncanbereachedthatithasthedisadvantagesofcompleteseparationoftimeandfrequencyandthedisabilityoflocalanalysis.TheinconstancyofthequalityfactorofGabortransformanditslimitationswereeducedbythetime-freq
3、uencyfieldanalysisofitsnuclearfunction.Onthecontrary,wavelettransformhastheadvantagesofmulti-resolutionanalysisandtheconstancyofitsqualityfactor.Keywords:Fouriertransform,Gabortransform,wavelettransformFourier分析方法(Fourier,1807)提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径,但它只考虑时域和频域之间的一对一映射关系,
4、是一种时频完全分离的分析方法[1]。这种方法用于分析平稳信号，在分析非平稳信号时就有些力不从心了。 针对Fourier变换不能局部化分析,Gabor于1946年引入了Gabor变换,又称短时Fourier变换(ShorttimeFouriertransform);它在一定程度上解决了Fourier变换的时频分离的不足。但是,Gabor变换在待分析信号上加一个窗口函数,改变了原信号的性质,并且它本身仍然存在一些缺陷难以克服。 小波变换(Wavelettransform)理论是继Fourier分析之后的一个突破性进展[2],它给许多相关
5、领域提供了一种强有力的分析工具。小波变换是一个时间和频率的局域变换,利用联合的时间-尺度函数分析非平稳信号，能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率细化分析,从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺陷.1 Fourier变换Fourier变换把信号分析的时域与频域联系起来,但同时又把它们割裂开来，如果一个信号f(t)在(-∞,+∞)上满足：(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件；(2)f(t)在(-∞,+∞)上绝对可积,即，就可以通过Fourier变换把时域信号f(t)转换到频域进
6、行处理,然后再通过Fourier反变换把频域信号转换回时域。很多在时域难以解决的问题,转换到频域便可以得到很好的解决,大大提高了信号处理的质量。Fourier变换将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行分析，但却不能把二者有机地结合起来，这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息而频域波形中又不包含任何时域信息。Fourier变换是时域与频域完全分离的，对于Fourier谱中的某一频率,无法知道这个频率是在什么时候产生的[2]。Fourier变换适合处理长时间内比较稳定的信号[4]，而在实际的信号处理中，尤其是对
7、非平稳信号(如语音信号、探地信号等)的处理中，这些信号的频域特性随时间变化[5]，所以信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，这种情况下时频两域便不能完全分离。这样，Fourier变换在时域和频域局部化的问题上就显现出了它的局限性。这就促使人们去寻找一种新的分析方法,能将信号的时域和频域结合来构成信号的时频谱,也就是所谓的时频分析法。2 Gabor变换Gabor变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,以便确定信号在该时间间隔存在的频率[2]，其处理方法是对信号f(t)施加一个滑动窗w(t-τ
8、)(τ是移位因子,反映滑动窗的位置)后，再作Fourier变换，即：（1）Gabor变换虽然在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部分析能力的问题,但它自身存在着不可克服的缺陷。公式(1)也可以看成是
