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1、一元线性回归分析2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0i=1,2,…,nVar(εi)=s2i=1,2,…,nCov(εi,εj)=0i≠ji,j=1,2,…,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,εi)=0i=1,2,…,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0,s2)i=1,2,…,n2.2考虑过原点的线性回归模型Yi=β1Xi+εii=1,2,…,n误差εi（i=1,2,…,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估
2、计解：得：2.3证明（2.27式），Sei=0，SeiXi=0。证明：其中：即：Sei=0，SeiXi=02.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。答：由于εi~N(0,s2)i=1,2,…,n所以Yi=β0+β1Xi+εi~N（β0+β1Xi,s2)最大似然函数：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估计值。同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0,s2)的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。所以在εi~N(
3、0,s2)的条件下，参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。2.5证明是β0的无偏估计。证明：2.6证明证明：2.7证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8验证三种检验的关系，即验证：（1）；（2）证明：（1）（2）2.9验证（2.63）式：证明：其中：2.10用第9题证明是s2的无偏估计量证明：2.11验证决定系数与F值之间的关系式证明：2.14为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1）画散点图（略）（2）X
4、与Y是否大致呈线性关系？答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。（1）用最小二乘法估计求出回归方程。计算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回归方程为：（2）求回归标准误差先求SSR（Qe）见计算表。所以（3）给出的置信度为95%的区间估计；由于(1-a)的置信度下，的置信区间是查表可得所以的95%的区间估计为：（7—3.182*1.915
5、，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。所以的95%的区间估计为：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），即（-21.211,19.211）。的置信区间包含0，表示不显著。（4）计算x和y的决定系数说明回归方程的拟合优度高。（1）对回归方程作方差分析方差分析表方差来源平方和自由度均方F值SSR490149013.364SSE110336.667SST6004F值=13.364>F0.05(1,3)=10.13(当n=1,n=8时，α=0.05查表得对应的值为10.13),所以拒绝原假设，说明回归方程显著。（8）做回归系数β1的
6、显著性检验H0:β1=0t值=3.656>t0.05/2(3)=3.182,所以拒绝原假设，说明x对Y有显著的影响。（2）做相关系数R的显著性检验R值=0.904>R0.05(3)=0.878,所以接受原假设，说明x和Y有显著的线性关系。（3）对回归方程作残差图并作相应的分析残差图(略).从残差图上看出，残差是围绕e=0在一个固定的带子里随机波动，基本满足模型的假设ei~N(0,s2),但由于样本量太少,所以误差较大.（4）求广告费用为4.2万元时,销售收入将达到多少?并给出置信度为95%的置信区间.解:当X0=4.2时,所以广告费用为4.2万元时,销售收入将达到28.4万
7、元.由于置信度为1-α时，Y0估计值的置信区间为:所以求得Y0的95%的置信区间为:[6.05932,50.74068]预测误差较大.2.15一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的制度，决定认真调查一下现状。经过十周时间，收集了每周加班工作时间的数据和签发的新保单数目，x为每周新签发的保单数目，y为每周加班工作时间（小时）。见表2.7。表2..7周序号12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、画散点图
