连续函数的运算和性质

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1、第十节连续函数的运算与性质定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,故在其定义域内连续.反函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单例如,在上单调增加且连续,故在上也是单调增加且连续.同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;反函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;反

2、函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;总之,反三角函数在它们的定义域内都是连续的.在区间内单调减少且连续.复合函数的连续性定理3若函数在点处连续,则有证在点处连续,当时,恒有又对上述当时,恒有结合上述两步得,当复合函数的连续性结合上述两步得,当复合函数的连续性结合上述两步得,当时,恒有意义1.2.定理4设函数在点处连续,且而函数在点处连续,极限符号可以与连续函数符号互

3、换;的理论依据.定理3给出了变量代换复合函数的连续性定理4设函数在点处连续,且而函数在点处连续,复合函数的连续性定理4设函数在点处连续,且而函数在点处连续,则复合函数在点处也连续.注意定理4是定理3的特殊情况.例如,在内连续,在内连续,在内连续.例1求解例2求解例3求解令则易见当时,所以例4求解因为所以初等函数的连续性三角函数及反三角函数的;指数函数在内单调且连续;对数函数在内单调且连续;在内连续.讨论的不同值(均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续初等函数的连续性讨论的不同值(均在其定义域内

4、连续).初等函数的连续性讨论的不同值(均在其定义域内连续).定理5基本初等函数定理6一切初等函数定义区间是指注意1.但在其定义域内不一定连续.例如,在这些孤立点的领域内没有定义.及在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义.及初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义.及在0点的领域内没有定义,函数在区间上2.定义区间).连续.初等函数求极限的方法(代入法)例5求解因为是初等函数,且是其定义区间内的

5、点,所以在点处连续,于是幂指函数因为故幂指函数可化为复合函数.易见:若则即注意公式成立的条件例6求称为幂指函数.解形如的函数有界性最大值和最小值定理定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如,在上,在上,定理1(有界性和最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.又如,函数证设函数f(x)在闭区间[ab]上连续假如f(x)在闭区间[a,b]上无界,

6、将[a,b]等分为两个小区间,[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b],则f(x)至少在其中之一上无界,把它记为[a1,b1];再将它等分为两个小区间[a1,(a1+b1)/2]与[(a1+b1)/2,b1],同样f(x)至少在其中之一上无界,把它记为[a2,b2];…这样的步骤一直做下去,便得到一个闭区间套{[an,bn]},an≤an+1,bn≥bn+1,区间长度趋于零，且f(x)在其中任何一个闭区间[an,bn]上都无界。{an}单调上升有上界,{bn}单调下降有下界，又由于an-bn

7、0,故存在[ab],使=liman=limbn(n)因为[ab],而f(x)在点处连续,由函数极限的局部有界性定理知存在>0,M>0,对xu(,)[a,b],有

8、f(x)

9、M但对充分大的n应有[anbn]u(,)[a,b],于是就得到f(x)在这样的[an,bn]上有界,构成矛盾.因此函数f(x)在[ab]上有界下面再证：设函数f(x)在闭区间[ab]上连续，则f(x)在[ab]上必能取得到最大值和最小值。证构造辅助函数法反证。设函数f(x)在闭区

10、间[ab]上连续设M=sup{f(x)},但对x[a,b],f(x)M.考虑辅助函数F(x)=1/(M-f(x))则F(x)是[ab]上的恒正的连续函数,由有界性定理可知，存在正数K，使得F(x)K。从而f(x)M-1/Kx[a,b]这与M是f(x)为[a,b]上的上确界矛盾。因此存在x[a,b],使f()=M。同理可证存在[a,b],使得f()=inf{f(x)}=m。定理2.零点定理与介值定理定义如果使则称为函数的零点.零点定理设函数