重积分-重积分的概念与性质

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1、8.1重积分的概念与性质18.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为l的细直杆的质量。不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线密度为2如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)≠常数。这里(x,y)>0且在D上连续。yxo3如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，其体密度函数为=(x,y,z)≠常数,则其质量可表示为4定义8.1.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将区域D任意分割成n个小区域如果当各小区域直径的最大值趋于零时

2、，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作5积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分6定义8.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域7如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,

3、y)(x,y)D，即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。8当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)，即为函数f(x,y,z)在上的三重积分，dv称为体积元素。有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即可以证明定理8.1.1(1)（充分条件）若f(X)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(X)在上可积，则它在上有界。98.1.2重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(2)(关于被积函数的线性可加性）若、

4、为常数，则表示D的面积10(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则特别地，有11(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，表示D的面积，则(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，表示D的面积，则至少存在一点(,)，使下面仅给出结论(5)、(6)的证明。1213(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x2)2+(y1)22解(1)因为在区域D1上0x+y1，(x+y)3(x+y)2根据性质5，得1412从图形易知在D上除切点外，处处

5、有x+y>1(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)22该圆域与直线x+y=1相切。15例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。16显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为。所以有178.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。188.2.1利用直角坐标计算

6、二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？1、曲顶柱体的体积------二重积分的几何意义19(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,…,n，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。20(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体21由二重积分定义立即得到这

7、也是二重积分的几何意义。22232.区域的不等式组表示(举例)例下列不等式组各表示什么区域24例下列图形怎么用不等式（组）表示253、二重积分的计算法用几何观点讨论。应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyoabxy26oax0bxyz在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间