构造法之构造几何图形

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1、构造法之构造几何图形构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。　例1：已知，则x的取值范围是（）　　A   1≤x≤5  Bx≤1   C1＜x＜5  Dx≥5　　分析：根据绝对值

2、的几何意义可知：表示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤x≤5，故选A。例2.求的最小值.分析：本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小.BP图4AC′CDD图3ABCP解：如图3，作AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=2，P为AB上一点，设AP=，则，问题转化为找出P点的位置，使PC+PD最小.如图4，作C关于AB的对称点C′，连结C′D交AB于P，由⊿PAC′∽⊿PBD，得，求得，所以的

3、最小值是5.例3：已知x,y,z∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1证：构造边长为1的正△ABC，D，E，F为边上三点，zD并设BD=x，CE=y，AF=z，如图1CEyxFB显然有S△BDE+S△CEF+S△ADF<即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜例4正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA

4、R即证。证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k的正方形。如下图所示。          由图即证。证明三：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？   不妨构造棱长为k的正方形，则有  k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA)  显然k3>k(aB+bC+cA)  得证。证明四：还可联想函数式，构造以c（或a或b）为变量字母的一次函数式：  f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2(0

5、何，都有，当有仅当时等号成立。观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：在中，，则。但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。，即例6：已知x、y、z为正数，且xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值分析：该题看似无从下手，但（x+y）（y+z）得形式类似与AB形式，与面积公式有相似之处，我们可以构造一个边长为a=x+y，b=y+z，c=z+x的三角形ABC，那么此三角形的面积可以用两种方法来求：（1）海伦公式：不再大纲范围（略）　因

6、此当sinC最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。例7如图5，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD=________.ADFCBEG图7解：如图构造矩形EFDG.AE=BE=，.例8：如图6，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC=，AB=AC=AD=,求BD的长.BACDE图8分析：求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt⊿BDE.解：以A为圆心，AB为半径构造⊙A，由于AB=AC=AD，则C，D在⊙A上，延长BA交⊙A于E，连结DE，得Rt⊿BDE.由于AB∥DC，

7、BC=，所以ED=BC=，又EB=2AB=，所以.练习：1、已知a，b，c，d为正数，且a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证：a=d,b=c2、已知0＜a＜1，0＜b＜1，求证：√（a^2+b^2）+√(a-1)^2+b^2+√a^2+(b-1)^2+√(a-1)^2+(b-1)^2>=2√23、求证：ac+bd≤√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2)