隐函数及其参变量函数的求导方法

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1、隐函数和参数方程求导张世涛相关变化率三、相关变化率一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数主要内容：一、隐函数的导数隐函数的显化例如：可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.例如：问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法注意：视y=y(x),应用复合函数的求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导，然后解出y即得隐函数的导数.两边对x求导(含导数的方程)若确定了隐函数，怎样求y？例1解解得例2解于是，所求切线方程为练习例3解设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得，再代入②得求①练习对数求导法先对y=f(x)

2、（>0）两边取对数(或加绝对值后两边取对数),然后利用隐函数的求导方法求出导数，实际上，对数求导法是利用隐函数求导法求显函数导数的一种方法。适用范围:例4解等式两边取对数,得例5解等式两边取绝对值再取对数，得练习二、由参数方程所确定的函数的导数例如:消去参数t得问题:消参数困难或无法消去参数时如何求导?平面曲线参数方程的一般形式时,有(此时看成x是y的函数)平面曲线参数方程的一般形式若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得例6.设,且求解:例7.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故三、相关变化率两个相互关联的变化率称

3、为相关变化率。当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化率求出另一个变化率。解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.例8解仰角增加率h米试求当容器内水例9.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式小结思考题