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《隐函数对数函数参数方程求导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、隐函数的导数定义称为隐函数.由方程所确定的函数形如的函数称为显函数.隐函数的显化存在问题(1)通常隐函数不易显化或不能显化;(2)隐函数的求导方法?隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1求由下列方程所确定的函数的导数.解得整理得解得在题设方程两边同时对自变量求导,例2解方程两边对求导,解得所以求由方程所确定的隐函数的导数由原方程知例3解在题设方程两边同时对自变量求导,得解得求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处例3解求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处例3解求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处于是,在点处
2、的切线方程为即例4解设求在点处的值.方程两边对求导得代入得将方程(1)两边再对求导得代入例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入例4解设求在点处的值.代入得将方程(1)两边再对求导得代入得例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数.解代入'y对数求导法问题的提出函数的求导问题.对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用于多个函数相乘设两边取对数得的情形.指函数和幂两边对求导得对数求导法两边对求导得对数求导法两边对求导得从而
3、例6解等式两边取对数得设求两边对求导得例7解在题设等式两边取对数等式两边对求导,得解得设求例8解等式两边取对数得设求上式两边对求导得例9解求导数由参数方程所确定的函数的导数若参数方程确定与间的函数关系,称此函数关系所表达的函数为例如,存在问题消参困难或无法消参如何求导?一般地,设具有单调连续的反函数由参数方程所确定的函数.由参数方程所确定的函数的导数存在问题消参困难或无法消参如何求导?一般地,设具有单调连续的反函数由参数方程所确定的函数的导数存在问题消参困难或无法消参如何求导?一般地,设具有单调连续的反函数设函数都可导,且则由复合函数及反函数的
4、求导法则得则变量与构成复合函数关系即由参数方程所确定的函数的导数即由参数方程所确定的函数的导数即若函数二阶可导,则即例10所表示解求由参数方程的函数的导数.例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.例11解求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.例12表示的函数的二阶导数.解求由方程例13如果不计空气阻力,则抛射体的运动轨迹的抛射体初速度的水平、铅直分量,参数方程为是重力加速度,是飞行时间.求抛射体在时刻的运动速度的大其中分别是小和方向.解因为速度的水平分量和铅直分量分别为解因为速度的
5、水平分量和铅直分量分别为解因为速度的水平分量和铅直分量分别为所以抛射体的运动速度的大小为而速度的方向就是轨道的切线方向.若是切线与则根据导数的几何意义,有轴正向的夹角,或例14方程.解将极坐标方程化为参数方程,得于是求心形线在处的切线例14方程.解于是求心形线在处的切线例14方程.解于是求心形线在处的切线所以曲线上对应于参又当时,数的点处的切线方程为即例15解如图,得求心形线的和由于是相关变化率设都是可导函数,及之间存在某种关系,而变量与从而它们的变化率间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题:与之研究这两个变化
6、率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例17一长为5米的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子下端离墙3米时,梯子上端向下滑落的速率.解如图,的距离,函数.于是得表示梯子下端离墙表示梯子上端到地面的这里都是时间两边对求导,的距离,墙地面解如图,于是得两边对求导,墙地面解如图,于是得两边对求导,墙地面代入得即注意到以及,(米/秒)即梯子上端向下滑落的速率为(米/秒).例18河水以8米/秒的体流量流入水库中,状是长为4000米,问水深20米水面每小时上升几米?解如图,顶角为的水槽,求导得上式两边对水库形时,
7、水槽横截面图水面上升之速率.米/小时,米/小时当米时,1.用对数求导法则求函数的导数.2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？课堂练习1.用对数求导法则求函数的导数.解2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？解设水面高为米时，水面圆的半径为米，上顶半径则由相似三角形得2.水注入深8米，上顶直径8米的圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？解2.水注入深8米，上顶直径8米
8、的圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？解而以代入上式得答表面上升的速度为
