左逆,右逆,正交阵

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1、矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有AB≠BA，那怕在n阶方阵子集中也这样。矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。即在可乘的条件下，AE=A或BE=B，E在乘法中的作用，就象数1那样。若n阶方阵A满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB=E或“左逆”CA=E由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B的定义就是AB=BA=E之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*基本恒等式A*A=AA*=

2、A

3、E在A满

4、秩时，它告诉我们，A*/

5、A

6、就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。有趣的是，如果n阶方阵A的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A=E你只能先说A′是A的“左逆”。A′的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。AA′=E这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。同样，如果n阶方阵A的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。实际上，很简单，AA′=E，则

7、A

8、=±1满秩方阵A

9、的的逆阵唯一，A′=±A*只有两类正交阵——要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。另有一个应用逆阵唯一性的好例。例A和B都是n阶方阵，且AB=A−B，试证明，A+E可逆，且AB=BA分析要先生成A+E，只有在AB=A−B上想办法。AB+B=A+E−E，进而有E=（A+E）（E−B）这表明A+E可逆，且它的（右逆）为E−B如何证第二问？好象没条件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就动笔试乘一下（E−B）（A+E）=E=（A+E）（E−B）整理后恰好有AB

10、=BA真妙啊，研考题会不会这样做文章呢？！