已知f.docx2

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1、l已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；②当x＞0时，f（x）＜0．（1）证明f（x）在R上是减函数；（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x2-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围．分析：（1）首先取x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，令y=-x，再取y=-x，可以证出f（-x）=-f（x），得函数f（x）在R上是奇函数，最后可以用定义证出f（x）在R上是减函数；（2）原不等式等价于：x2-4＜2x-2a即x2

2、-2x+2a-4＜0，设其左边为函数g（x）=x2-2x+2a-4，通过讨论函数值g（0），g（1）和g（2）的正负，建立不等式组，可解出实数a的取值范围．解：（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数，设x1＞x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）＜0∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是减函数（6分）（2）f（x2-4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于x2-4＜2x-

3、2a即x2-2x+2a-4＜0（8分）令g（x）=x2-2x+2a-4根据题意，的实数a的取值范围为l（2002•广东）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），且f（1）=a＞0．（Ⅰ）求f（Ⅱ）证明f（x）是周期函数；（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），所以f（1）=a＞0，（3分）（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈

4、R又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，∴f（x）=f（x-2），x∈R，得f（x）=f（x+2），x∈R这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分）l已知函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin^2(x)的最小值为a的函数，记为g(a),求g(a)的表达式求g（a）.1)若g（a）=1/22)求a及此时f（x）的最大值。1）f(x)=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2(1-cos²x)=2cos²x-2acosx-2a-1=2(cosx-a/2)²-a²/2-2

5、a-1当-1≤a/2≤1时，即当-2≤a≤2时，当cosx=a/2时，f(x)有最小值f(x)min=-a²/2-2a-1当a/2<-1时，即当a<-2时，当cosx=-1时，f(x)有最小值f(x)min=2+2a-2a-1=1当a/2>1时，即当a>2时，当cosx=1时，f(x)有最小值f(x)min=2-2a-2a-1=1-4a综上，得g(a)=1(a<-2)-a²/2-2a-1(-2≤a≤2)1-4a(a>2)2.令1-4a=1/2，解得a=1/8(<2，舍去)令-a²/2-2a-1=1/2，整理，得a²+4a+3=0(

6、a+3)(a+1)=0a=-3(<-2，舍去)或a=-1此时f(x)=2(cosx+1/2)²-1/2+2-1=2(cosx+1/2)²+1/2当cosx=1时，f(x)有最大值f(x)max=2(1+1/2)²+1/2=5a的值为-1，f(x)的最大值为5。lsin(180-α)=sinα所以sin168=sin(180-168)=sin12因为角度在0到90度之间时,正弦函数为增函数,所以sin12大于sin11,即sin168大于sin11而角度在0到45之间时,同角的正弦值大于余弦值因此cos10＜sin10＜sin11所

7、以cos10＜sin11＜sin168l函数y=sinx-1/2cosx的最大值为y=sinx-1/2cosx=(√5/2)[(2/√5)sinx-(1/√5)cosx](设sinα=1/√5，cosα=2/√5，则tanα=1/2，α=arctan（1/2）)=(√5/2)(sinxcosα-cosxsinα)=(√5/2)sin(x-α)当x属于0到90度时，函数最大值为x=90度即π/2时，y=sinπ/2-1/2cosπ/2=1当x属于实数时，其最大值为x=π/2+arctan（1/2）+2Kπ时，此时，y=√5/2l函数

8、f(x)=Asin(x+a)(A>O,0