概率论与数理统计浙大第四版答案_第四章

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1、概率论与数理统计习题四解答23.利用定理2的结论计算χ分布的期望与方差。nn222解：设随机变量Y~χ(n)，由定理2知E(Y)=∑E(Xi),D(Y)=∑D(Xi),，i=1i=1其中Xi为相互独立的随机变量，且Xi~N(0,1),i=1,2,L,n.于是2⎡2+∞2⎤xxx+∞1−1⎢−+∞1−⎥E(Xi2)=∫x2e2dx=−xe2−∫e2dx=1−∞2π2π⎢−∞2π⎥⎢⎣−∞⎥⎦所以E(Y)=n.2x+∞1−又D(Xi2)=E(Xi4)−E2(Xi2)=∫x4e2dx−1−∞2π+∞⎡x2x2⎤1⎢−+∞3x2−⎥=−x3e2−e2dx−1=3

2、E(X2)−1=3−1=2，2π⎢∫−∞2π⎥i⎢⎥⎣−∞⎦所以D(Y)=2n.nnn22解二：E(Y)=∑E(Xi)=∑[D(Xi)+E(Xi)]=∑[1−0]=n.i=1i=1i=14.试证明定理5.2X−µ证：因为X~N(µ,σ)，所以由定理1得：~N(0,1).再由定理4得：σ/n2X−µ(n−1)S(n−1)~t(n−1)2σ/nσ(X−µ)即：~t(n−1).S/n26.设总体X~π(λ),试求D(X)及E(S).解：因为X~π(λ),所以E(X)=λ,D(X)=λ.于是⎛1n⎞1n1nλD(X)=D⎜∑Xi⎟=∑D(Xi)=∑λ=⎜n⎟n2

3、n2n⎝i=1⎠i=1i=1⎡1n⎤1⎡n2⎤1⎡n2⎤2222E(S)=E⎢∑(Xi−X)⎥=E⎢∑Xi−nX⎥=⎢∑E(Xi)−nE(X)⎥⎢⎣n−1i=1⎥⎦n−1⎢⎣i=1⎥⎦n−1⎢⎣i=1⎥⎦⎧n⎫1[]2[]2=⎨∑D(Xi)+E(Xi)−nD(X)+E(X)⎬n−1⎩i=1⎭1⎧2⎛λ2⎞⎫1=⎨nλ+nλ−n⎜+λ⎟⎬=(nλ−λ)=λn−1⎩⎝n⎠⎭n−17.设总体X在[0，b]上服从均匀分布，b未知。试就样本值(1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1)，求b，及E(X)及D(X)的矩估计值。1解：X=(1.3+0.6+1.7

4、+2.2+0.3+1.1)=1.2.6bQX~[0,b]的均匀分布，∴E(X)=.2b令=1.2得bˆ=2.4E(ˆX)=1.2222又D(X)=E(X)−E(X),12222222所以D(ˆX)=(1.3+0.6+1.7+2.2+0.3+1.1)−1.2≈0.14.68.已知总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，(X1,X2,L,Xn)是一个样本，试求a,b的极大似然估计量。⎧1⎪,a≤x≤b分析：X的概率密度为f(x)=⎨b−a，⎪⎩0,其它似然函数为L(a,b)=1,θ1≤xi≤θ2,i=1,2,L,n，lnL(a,b)=−nln(b−a)

5、.n(b−a)⎧∂lnL(a,b)n==0⎪显然⎨∂ab−a无解。由此不能求得a,b的极大似然估计量。∂lnL(a,b)n⎪=−=0⎩∂bb−a⎧1⎪,a≤x≤b解：X的概率密度为f(x)=⎨b−a，⎪⎩0,其它似然函数为L(a,b)=1,θ1≤xi≤θ2,i=1,2,L,n，n(b−a)1对于给定的样本值(x1,x2,L,xn)，现在要求出使得L(a,b)=n最大的a,b的值。(b−a)欲使L(a,b)最大，则应使（b−a）尽可能地小，而相对于给定的样本值(x1,x2,L,xn)来说，***对于∀i,有a

6、新排序，记为x1≤x2≤L≤xn，则a,***b必须满足的是a≤x1≤x2≤L≤xn≤b，故a,b的极大似然估计值应取为⎧∧*⎪a=x1=min{xi}i.⎨∧⎪*b=xn=max{xi}⎩i9.给定一个容量为n的样本(X1,X2,⋯，Xn),试用极大似然估计法估计总体的未知参数，设总体θ的概率密度为⎧θ−1<<θx,0x1（1）f(x)=⎨⎩0,其他⎧−θxθe,x>0（2）f(x)=⎨⎩0,x≤0α⎧⎪(θα)xα−1e−θx,x>0,α已知（3）f(x)=⎨⎪⎩0,x≤0nnnθ−1nθ−1解：（1）似然函数为L(θ)=∏θxi=θ∏xi,lnL(

7、θ)=nlnθ+(θ−1)∑xi，i=1i=1i=1n令dlnL(θ)=n+x=0,得θ的极大似然估计量为：θˆ=−n∑indθθi=1X∑ii=1nn−θ∑xin（2）似然函数为L(θ)=θe−θxi=θnei=1,lnL(θ)=nlnθ−θx，∏∑ii=1i=1ndlnL(θ)=n−x=0,得θ的极大似然估计量为：θˆ=n∑indθθi=1X∑ii=1nn−θ∑xαnαi（3）似然函数为L(θ)=（θα）xα−1e−θxi=(θα)nei=1xα−1,∏i∏ii=1i=1nnαlnL(θ)=nlnθ+nlnα−θ∑xi+(α−1)∑xii=1i=1n

8、dlnL(θ)=n−xα=0,得θ的极大似然估计量为：θˆ=n∑indθθi=1