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概率论与数理统计浙大第四版答案_第四章

'概率论与数理统计浙大第四版答案_第四章'
概率论与数理统计概率论与数理统计 习题四解答习题四解答 3. 利用定理 2 的结论计算χ 2分布的期望与方差。 解:设随机变量,由定理 2 知, )(~ 2 nYχ, )()(, )()( 1 2 1 2 ∑∑ == == n i i n i i XDYDXEYE 其中Xi为相互独立的随机变量,且niNXi,, 2 , 1),1 , 0(~L=.于是 1 2 1 2 1 2 1 )( 222 22 222 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??== ?∞+ ∞? +∞ ∞? ??∞+ ∞? ∫∫ dxexedxexXE xxx i πππ 所以 nYE=)(. 又 1 2 1 )()()( 2 42242 2 ?=?= ∫ ∞+ ∞? ? dxexXEXEXD x iii π 2131)(31 2 3 2 1 2 2 2 2 3 22 =?=?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??= ?∞+ ∞? +∞ ∞? ? ∫ i xx XEdxe x ex ππ , 所以 . nYD2)(= 解二:. nXEXDXEYE n i n i ii n i i =?=+== ∑∑∑ ===11 2 1 2 ]01 [)]()([)()( 4.试证明定理 5. 证:因为,所以由定理 1 得:),(~ 2 σµNX) 1 , 0(~ / N n X σ µ? .再由定理 4 得: ) 1(~) 1( ) 1( / 2 2 ?? ?? ntn Sn n X σσ µ 即: ) 1(~ / )( ? ? nt nS Xµ . 6.设总体),(~λπX试求)()( 2 SEXD及. 解:因为),(~λπX 所以λλ==)(,)(XDXE.于是 n n XD n X n DXD n i n i i n i i λ λ=== ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑∑∑ ===1 2 1 2 1 1 )( 11 )( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑∑∑ === )()( 1 1 1 1 )( 1 1 )( 2 1 2 2 1 2 1 22 XnEXE n XnXE n XX n ESE n i i n i i n i i [][] λλλλ λ λλ=? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?+ ? = ? ? ? ? ? ? +?+ ? = ∑ = )( 1 1 1 1 )()()()( 1 1 22 2 1 2 n nn nnn n XEXDnXEXD n n i ii 7. 设总体X在[0,b]上服从均匀分布,b 未知。试就样本值(1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1),求 b,及及的矩估计值。 )(XE)(XD 解:2 . 1) 1 . 13 . 02 . 27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 =+++++=X. 2 )(], 0[~ b XEbX=∴的均匀分布,Q. 令2 . 1)( ? 4 . 2 ? 2 . 1 2 ===XEb b 得 又 ),()()( 22 XEXEXD?= 14. 02 . 1)1 . 13 . 02 . 27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 )( ? 2222222 ≈?+++++=XD所以. 8. 已知总体X在[a, b]上服从均匀分布,a, b 未知,是一个样本,试求 a, b 的 极大似然估计量。 ),,,( 21n XXXL 分析:X 的概率密度为 ? ? ? ? ? ≤≤ ? = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf, 似然函数为, )( 1 ),( n ab baL ? = nixi,, 2 , 1, 21 L=≤≤θθ ,)ln(),(lnabnbaL??=. 显然 ? ? ? ? ? = ? ?= ? ? = ? = ? ? 0 ),(ln 0 ),(ln ab n b baL ab n a baL 无解。由此不能求得 a, b 的极大似然估计量。 解:X 的概率密度为 ? ? ? ? ? ≤≤ ? = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf, 似然函数为, )( 1 ),( n ab baL ? = nixi,, 2 , 1, 21 L=≤≤θθ , 对于给定的样本值,现在要求出使得),,,( 21n xxxL n ab baL )( 1 ),( ? =最大的 a, b 的值。 )尽可能地小,最大,则应使(欲使abbaL?),(而相对于给定的样本值来说,),,,( 21n xxxL 对于,若将 xbxai i = ? 0, 0 0, )( x xe xf xθ θ (3) ? ? ? ? ? ≤ = ?? 0, 0 , 0,)( )( 1 x xex xf x 已知αθα α θα 解: (1)似然函数为, ∑∏∏ == ? = ? ?+=== n i i n i i n n i i xnLxxL 11 1 1 1 ) 1(ln)(ln,)(θθθθθθ θθ 令 ∑ ∑ = = ?==+= n i i n i i X n x n L d d 1 1 ? , 0)(lnθθ θ θ θ 的极大似然估计量为:得 ( 2 ) 似 然 函 数 为, ∑∏ = ? = ? ?=== ∑ = n i i x n n i x xnLeeL n i i i 11 ln)(ln,)( 1 θθθθθθ θ θ ∑ ∑ = = ==?= n i i n i i X n x n L d d 1 1 ? , 0)(lnθθ θ θ θ 的极大似然估计量为:得 (3)似然函数为 ,)()( 1 1 1 1 1 ∏∏ = ? ? = ?? ∑ = == n i i x n n i x i xeexL n i i i α θ θα α α θααθθ)( ∑∑ == ?+?+= n i i n i i xxnnL 11 ) 1(lnln)(lnαθαθθ α ∑ ∑ = = ==?= n i i n i i X n x n L d d 1 1 ? , 0)(ln α α θθ θ θ θ 的极大似然估计量为:得 10.设(X1, X2,?,Xn)为)(λπ的一个样本。试证 (1)样本方差S2是λ的无偏估计。 (2)对任一α, 2 )1 (, 10SXααα?+≤≤也是λ的无偏估计。 解: (1)因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑∑ == 2 1 2 1 22 1 1 )( 1 1 )(XnXE n XX n ESE n i i n i i [][] ? ? ? ? ? ? +?+ ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑∑ == n i ii n i i XEXDnXEXD n XnEXE n 1 222 1 2 )()()()( 1 1 )()( 1 1 {}λλλλ λ λλ=? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?+ ? = ∑ = n nn
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