高二数学函数最值、导数应用题(理)人教实验版(A)

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1、高二数学函数最值、导数应用题（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：函数最值、导数应用题二.重点、难点：1.闭区间上的连续函数必有最值。2.，求的值，最大的为最大值，最小的为最小值。3.应用问题（1）选定自变量x（2）选定函数值y（3）建立函数关系（4）确定函数的定义域（5）用导数求最值【典型例题】[例1]求下列函数最值。（1）解：（舍）∴（2）解：∴（3）∴∴[例2]，函数，，求。解：∴∴[例3]，，求解：（1）∴（2）∴或－31[例4]已知a为实数，，（1）求导数；（2）若，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（－∞，－2）和上都是增

2、函数，求a的取值范围。解：（1）因为所以（2）由，得，此时有所以，由，得或，又因为，所以在[－2，2]上的最大值为，最小值为（3）∵的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线由条件得，即，解得，所以a的取值范围为[-2,2][例5]已知函数在与x=1时都取得极值。（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对时，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（1）∵∴由，得∵∴当变化时，的变化情况如下表：x（－∞，）（，1）1（1，+∞）+0－0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的递增区间是（－∞，）和（1，+∞）；递减区间是（，1）（2）∵又∵，∴为最大值，要使在恒成立只

3、需，解得或[例6]已知函数的图象在点M（）处的切线方程为（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。解：（1）∵∴又∵函数的图象在点M（）处的切线方程为∴，即解得（∵舍去）∴所求函数解析式为（2）∵∴令，解得当或时，当时，∴在（）和（）内是减函数，在（，）内是增函数[例7]设函数，其中。（1）若在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（－∞，0）上为增函数，求a的取值范围。解：（1）∵在取得极值∴，解得经检验知时，x=3为f（x）为极值点（2）令得当时，若，则在和上为增函数，故当时，在（－∞，0）上为增函数当时，若，则∴在（）和（）上为增函数，从而当时，在上也为

4、增函数综上所述，当时，在（－∞，0）上为增函数[例8]，求证：证：令x（0，1）1（1，+∞）－0+y↓↑∴∴，恒成立∴[例9]求抛物线上与点A（6，0）距离最近的点。解：设M（x，y）为抛物线上一点，则∵与2同时取到极值∴令由得∵当或时，→+∞∴f（x）→+∞∴x=2是f（x）的最小值点，此时x=2，y=2，即抛物线上与点A（6，0）距离最近的点是（2，2）[例10]请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1

5、棱锥底面边长为：（单位：m）故底面正六边形的面积为：（单位：m2）帐篷的体积为：（单位：m3）求导得，令解得（不合题意，舍去）当时，为增函数当时，为减函数∴当时，V（x）最大答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为[例11]统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分

6、析和解决实际问题的能力。解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时要耗油（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得（）∵令，得当时，是减函数；当x∈（80，120）时，，h（x）是增函数∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25因为h（x）在上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。【模拟试题】1.已知函数（x∈R）上任一点（）处的切线斜率，则该函数的

7、单调递减区间为（）A.B.C.（－∞，－1）和（1，2）D.2.已知函数的图象如图（1）所示（其中是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图像大致是（）图（1）3.设函数，则有（）A.分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内三个根B.四个实根C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内四个根D.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3）内三个根4.（2005·广东）函数是减函数的区间是（）A.（2，+∞）B.（－∞，2）C.（－∞，0）D.（0，2）5.若