导数的应用二教师版

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1、导数的应用（二）【2013年高考会这样考】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左

2、正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(

3、a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．预习检测：1．已知函数f(x)＝x4－x3＋2x2，则f(x)(　　)A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值C．有极小值

4、，无极大值D．无极小值，无极大值答案：C2．函数y＝(　　)A．最大值为1，无最小值B．无最大值，最小值为－1C．最大值为1，最小值为－1D．无最大值，也无最小值答案：C3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)A．－2B．0C．2D．4答案：C4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去

5、)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C.答案：C5．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.解析：∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0，又f′(x)＝，∴f′(1)＝＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3.答案：3考向一　函数的极值、最值与导数【例1】已知函数。（Ⅰ）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的极值点，求在上的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数的取

6、值范围；若不存在，试说明理由.反思感悟：善于总结，养成习惯运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．迁移发散1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大

7、值和极小值（D）函数有极大值和极小值【答案】D【解析】由图象可知当时，，所以此时，函数递增.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递减.当时，，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选D.2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）【答案】B【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数由图象关于对称得：最小值为,3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（）A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点[学【答案】D.【解析】，

8、令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.4.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分)已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意.【答案】5.函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点p