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1、第10讲 直线与圆一．热身训练：1.直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是2.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为x=2或3x-4y-2=0.3.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）4.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的条件。【解析】当时，直线：，直线：，则//；若//，则有，即，解之得，或，所以不能得到。5.设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是。【解析】圆心为，半径为1.直线与圆相切
2、，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或6．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为。【答案】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为7.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是________________.二．典例解析：例1.已知!ABC的三边方程分别为AB:，BC:，CA:.第7页共7页求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（
3、2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.解：（1）AB边上的高斜率为且过点C，解方程组得点C（，2）所以AB边上的高方程为.（2）设P为∠BAC的内角平分线上任意一点，则解得或，由图形知即为所求.例2.已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为
4、m
5、≤(m2＋1)，所以
6、k
7、＝≤，当且仅当
8、m
9、＝1时等号成立．
10、所以，斜率k的取值范围为.(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中
11、k
12、≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝.由
13、k
14、≤，得d≥>1，即d>.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．例3。在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠
15、±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【答案】（Ⅰ）解法1：设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.第7页共7页解法2：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点
16、，切线方程为.于是整理得①设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故②由得③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④同理可得⑤由②，④，⑤三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.（例5图）例4.如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-2,0），圆：是椭圆G的内接的内切圆.(Ⅰ)求椭圆G的方程；(Ⅱ)求圆的半径；（Ⅲ）过作圆G的两条切线交椭圆于E,F，判断直线EF与圆的位置关系，并证明.第
17、7页共7页解：(Ⅰ)，得，椭圆G方程为(Ⅱ)设，过圆心作于,交长轴于由得,即(1)又在椭圆上,(2)由(1)、(2)式得,解得或（舍去）（Ⅲ）直线与圆的相切设过点与圆相切的直线方程为:(3)则,即解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离，故结论成立.三．训练提高：1.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___..2.已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B
18、是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为。【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而第7页共7页，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以3.一已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为。【解析】直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.4.已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值
