第二章第3讲函数的单调性与最值

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1、第3讲　函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2.当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．[做一做]1．函数y＝log(2x2－3x＋

2、1)的单调减区间为________．解析：由2x2－3x＋1>0，得函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．令t＝2x2－3x＋1，则y＝logt，因为t＝2x2－3x＋1＝2(x－)2－，所以t＝2x2－3x＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y＝logt在(1，＋∞)上是减函数，所以函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；　存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意x

3、∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值[做一做]2．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________．解析：f(x)＝＝2－，故f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝，最小值为f(1)＝1.答案：，11．必明辨的2个易错点(1)函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(2)解决分段函数的单调性问题时，

4、除应注意保证各段上同增(减)外，还要注意上、下段间端点值间的大小关系，弄清最终结果取并还是交．[练一练]1．函数f(x)＝的单调区间为________．解析：f(x)＝＝－2，所以f(x)的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．答案：(－∞，0)，(0，＋∞)2．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知，函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是.答案：2．必会的5种方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定

5、函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．[练一练]3．函数f(x)＝的最大值是________．解析：1－x(1－x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋≥.因此，有0＜≤.所以f(x)的最大值为.答案：4．函数f(x)

6、＝log(12x－27－x2)的最小值为________．　解析：令12x－27－x2>0得f(x)的定义域为(3,9)．设n＝12x－27－x2，则00.因此f(x)在上递减，在上递增．又f(0)＝－，f＝－4，f(1)＝－3，则

7、f(x)的值域为[－4，－3]．答案：－3，－4考点一　函数单调性的判断　　判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．[解]　设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).当≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0，有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)是减函数；当x1>x2≥时，x1－x2>0,1－>0，有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a

8、>0)是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．[方法归纳]　判断或证明函数的单调性的两种基本方法(1)利用定义的基本步骤是：⇨⇨⇨(2)利用导数的基本步骤是：⇨⇨　1.已知函数f(x)＝－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．解