高考数学大一轮复习讲义（备考第七章立体几何考点精析苏教版

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1、第七章　立体几何第一节空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①用来确定一个平面；②证明点线共面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有

2、且只有一个平面．公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：(2)异面直线所成的角：①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：.(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点54直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与

3、平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．[试一试]1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号是_____

4、___(写出所有真命题的序号)．解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．由线面平行的判定定理可知，(2)正确．对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.答案：(1)(2)2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案：b与α相交或b⊂α或b∥α1．求异面直线所成角的方法54(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问

5、题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[练一练](2014·镇江期末)如图，在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平

6、面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断B，C，F，G是否四点共面，并说明理由；(3)连结CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG.解：(1)证明：⇒AB∥DE.同理AD∥BE，则四边形ABED是平行四边形．又AD⊥AB，AD＝AB，所以四边形ABED是正方形．(2)取DG的中点P，连结PA，PF.在梯形EFGD中，PF∥DE且PF＝DE.又AB∥DE且AB＝DE，所以AB∥PF且AB＝PF，所以四边形ABFP为平行四边形，则AP∥BF.在梯形ACGD中，AP∥CG，所以BF∥CG，所以B，C，F，G四点共面．

7、(3)证明：同(1)中证明方法知四边形BFGC为平行四边形．又有AC∥DG，EF∥DG，从而AC∥EF.⇒BE⊥EF.又BE＝AD＝2，EF＝1，故BF＝.而BC＝，故四边形BFGC为菱形，所以CF⊥BG.连结AE，又由AC∥EF且AC＝EF知CF∥AE.在正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD.⇒CF⊥平面BDG.54考点一平面的基本性质及应用1．(2013·南京、盐城三模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：(1)若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；(2)若m⊂α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；(3)若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则