考点10_导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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1、考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　(　　)A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解题指南】根据xf′(x)-f(x)<0,构造函数g(x)=,对函数g(x)=求导,利用其单调性及奇偶性确定f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】

2、选A.记函数，则，因为当时，，故当时，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当00,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).2.（2015·安徽高考文科·T10）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<

3、0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0【解题指南】结合图像的特征及导函数的性质进行判断。【解析】选A。由函数f(x)的图像可知a>0,令x=0得d>0，又可知是方程的两个根，由图可知，所以，故选A.3.(2015·陕西高考理科·T12)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是　(　　)A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上【解题指南】根据选项假设A错误,利用导数推

4、导函数的极值点及极值,与其余的选项相符,假设正确,从而确定答案.【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因为f(-1)=5×1-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确.4.(2015·福建高考理科·T10)若定义在上的函数

5、满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【解题指南】利用导数与单调性的关系及构造函数法求解.【解析】选C.因为f′(x)>k>1,构造函数g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上单调递增,又>0,所以g>g(0)即f->-1,得到f>,所以C选项一定错误.A,B,D都有可能正确.5.(2015·福建高考文科·T12)“对任意x∈,ksinxcosx

6、【解析】选B.令g(x)=ksinxcosx-x=sin2x-x,因为x∈,2x∈,当k≤0时,sin2x>0,g(x)<0恒成立,当01时,g′(x)=0有一个根x0且在区间(0,x0)单调递增,此时g(x)<0不恒成立,故k的范围是k≤1,k≤1不能推出k<1,充分性不成立,但是k<1能推出k≤1,必要性成立.6.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T12)设函数f(x)=ex

7、(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是　(　　)A.B.C.D.【解题指南】构造函数g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,使得f(x0)<0,即g(x0)在直线y=ax-a的下方.【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,所以,当x=-时,[g(x)]min=-2.当x=0时,g(0)=-1,

8、g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.二、填空题7.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T14)已知函数f=ax3+x+1的图象在点处的切线过点,则a=　　　　　　　　.【解题指南】先