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《高数：中值定理及其导数的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四讲中值定理及其导数应用1微分中值定理罗尔,拉氏定理导数的应用单调性,极值,最值,凸凹性,拐点1.1、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论例2证例3证由上式得小结Rolle定理Lagrange中值定理
2、罗尔定理和拉格朗日中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.2导数应用2.1单调性的判别法定理例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为例3证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应
3、用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.2.2函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.2.2.1函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第
4、一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)2.3最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)应用举例例1解计算比较得实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但2.4曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义2
5、.4.1曲线凹凸的判定定理1例1解注意到,2.4.2曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证方法1:例2解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例3解注意:例4解小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法1,2.思考题思考题解答例2.4.3渐近线定义:1.铅直渐近线例如有铅直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点
6、例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点极大值极小值小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减思考题思考题解答
