高等数学(下)总复习

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1、期末总复习答疑安排时间：2013年6月30日（周日）上午09：00~11：30下午14：00~16：30地点：【教学楼215】：（一）向量在另一向量上的投影结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.（二）求平面方程。设平面方程为由平面过原点知所求平面方程为解例2：求过直线解：设过直线L的平面束方程为且与平面夹角为的平面方程。（三）多元函数的极限（1）多元函数的偏导数要点：求二元函数在某点的偏导数（四）多元函数的偏导数、隐函数求二阶偏导、求曲面的切平面或法线方程、Lagrange乘数法求最值(应用题)、方向导数典型例题例1：设求解：典型例题例2：设

2、求解：（2）求隐函数的二阶偏导数由方程所确定的二元函数z=f(x,y),求例1：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得（3）曲面在某点处的切平面或法线方程（I）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程例1：求曲面上同时垂直于平面与平面解：取的切平面方程。设切点为拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题1的所有可能的极值点。问题1：求函数z=f(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值（称为条件极

3、值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（4）Lagrange乘数法求最值(应用题)。例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。答案:最近距离最远距离例2：当时，求在球面上的最大最，并证明对任意的成立不等式答案：（5）：求方向导数函数沿任意方向l的方向导数存在，且其中，是l的方向余弦。定理：如果z=f(x,y)在点可微，则计算可微函数方向导数的步骤（1）确定给定方向l的方向余弦：即与l同方向的单位向量。（2）计算偏导数（3）利用公式计算解：方向l即为l的方向余弦即为与l同方向的单位向量五、二重积分的计算（极坐标、直角坐标），三重积

4、分（球坐标）重点内容（1）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：（2）利用极坐标计算二重积分；再根据D的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。例3:计算由直线y=x及曲线所围平面区域。（3）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中D由直线y=x,y=1,及x=1所围平面区域六、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（3）基本应用：格林公式和高斯

5、公式的两类典型应用题：2.平面曲线积分3.二元函数的全微分求积问题“封口法”和“挖洞法”。与路径无关在单连通区域G内为某个二元函数u的全微分且（4）基本计算技巧1.利用对称性；2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；3.利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。（5）复习重点2.曲线积分与路径无关的条件与应用；3.利用格林公式计算第二曲线积分；4.利用高斯公式计算曲面积分1.第一类曲线积分的基本计算法；例1：设椭球面的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方程及对称性0例3：提示：利用

6、高斯公式及椭球体的体积。例4：设f(x)在(0,+)上有连续的导数，L是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A(1,2)到点B(2,8)的直线段，计算（30）例5：计算由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例6：计算再由坐标原点沿x轴到B(2,0)。解：其中，L为由点A(1,1)沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：七、数项级数收敛性判别，幂级数求和函数（收敛半径，收敛域），利用和函数求数项级数的和（1）数项级数收敛性判别1.正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P级数和调和级数2.交错

7、级数：莱布尼茨定理3.任意项级数：绝对收敛和条件收敛。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极