高等数学之空间解析几何与向量代数(II)

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1、第六节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、平面的截距式方程机动目录上页下页返回结束平面方程第七章四、两平面间的关系①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束例1.求过点且以为法线即解:向量的平面的方程.利用点法式得平面的方程机动目录上页下页返回结束二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,

2、因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.机动目录上页下页返回结束例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面

3、通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327例4,自己练习)机动目录上页下页返回结束例3.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程机动目录上页下页返回结束此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束三、平面的截距式方程三、两平面间的关系设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平

4、面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束特别有下列结论：机动目录上页下页返回结束因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下页返回结束第六节目录上页下页返回结束作业P33:1;2(2);6(1).备用题

5、求过点且垂直于两平面和的平面方程.解:已知两平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得机动目录上页下页返回结束