椭圆及其标准方程 基础练习

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1、课题：椭圆及其标准方程椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。令椭圆上任一点M，则有问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程。MxyMO方案一方案二xyMO按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程+=1（），其中b2=a2－c2(b>0)；选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a2－c2=b2(b>0)。我们所得的两个方程+=1和+=1（）都是椭圆的标准方程。（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形

2、及其标准方程，归纳总结（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。1、归纳总结如下表标准方程+=1xyMO+=1图形xyMOa,b,c关系焦点坐标焦点位置在x轴上在y轴上（五）例题研讨，变式精析[例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及的值（口答）①②③[例2].已知椭圆两个焦点的坐标分别为，并且经过点；求它的标准方程.

3、变式训练1.如图，圆Ｏ的半径为定长r，A是圆Ｏ内的一定点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？2.已知B、C是两个定点，

4、BC

5、=6，的周长为16.问点A的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？椭圆的标准方程一、填空题1．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．解析：因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为

6、因为m－n>0，故焦点在x轴上，所以c＝＝，故焦点坐标为(，0)，(－，0)．答案：(，0)，(－，0)3．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.答案：44．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1

7、，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝15．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1.答案：＋＝16．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________．解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝17．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△

8、ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以

9、PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：69．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.答案：4二、解答题10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a>0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为2，求椭圆的标准方程．解：原方程

10、可化为＋＝1(a>0)，∴c＝＝a，即