浅谈08至13年江苏高考附加题最后一题

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1、08-13江苏高考数学附加题最后一题解析点评（08年23题）23．【必做题】．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（，正整数），证明：．（2）对于正整数，求证：（i）；（ii）；（iii）．证明：（1）在等式两边对求导得移项得（*）（2）（i）在（*）式中，令，把-n移过去整理得所以=0（ii）看到项，首先想到的就是升次，所以必定是求两次导由（1）知继续两边对求导，得在上式中，令即，亦即又时，（1）又由（i）知（2）由（1）+（2）得（iii）（官方解答）第三问中含有

2、，而且是在分母上的，有种逆求导的感觉，所以想到跟积分有关，故将等式两边在上对积分由微积分基本定理，得所以第（iii）问别解：搞过数学竞赛的同学很容易就想到一个组合恒等式，所以等价于证，即证而这时显然的。点评：江苏的这道题是新课改后的第一张试卷，所以命题还不成熟，对于绝大部分普通学生，此题属于难题，但却很适合竞赛党，这不明摆着照顾竞赛党么。这道题是组合恒等式的范畴，用到的技巧又是算两次，标答中竟然还用到了微积分，只能呵呵了。（09年23题）23.（本题满分10分）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等

3、）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数≥2，有.下面先给出官方解答：上面第二问的标准解答用的是对立事件，而且没有去求，而是在概率分析上放缩，这时它的高明之处。然而其实大可不必这样做，这道题可以说是很简单的题目，我来给出第二问的直接解法：（2）证明：我们沿用第一问的思路，引入高斯符号[],例如[x]表示不大于x的最大整数。当，总有，所以共有组有序数对；当，因为，所以共有组有序数对。所以根据高斯函数的定义，易得点评：此题属于容易题，就是普普通通的放缩而已。（10年23题）已知△

4、ABC的三边长都是有理数。（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。同样先给出官方答案：这道题出自葛军之手，同样也有竞赛的背景，他给的答案中采用的加强命题的技巧。其实这是一类竞赛题型，在对偶原理中经常能见到这种题目，要证cos不容易入手，那我就再顺手牵羊证sin也满足如此性质。可是看到此题竞赛党又乐了，不就是第二数学归纳法吗？下面给出别解：（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当时，显然cosA是有理数；当

5、时，∵，因为cosA是有理数，∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，，，，解得：∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，∴是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA也是有理数。点评：此题又是照顾竞赛党，表示呵呵。（11年23题）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中（1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求解析：（1）因为满足的每一组解构成一个点所以。（2）设，则（竞赛中就写作，即同余），同样，它的每一组解对应一个点，所以对于每个。下面就是要解决，，又因为，所以，那么我们

6、在想这个问题：在区间中，到底有多少整数呢？如果由前面我讲过的高斯函数性质的话，那么很简单，共有个整数，k的取值最大为，所以。（保留这个和式就行了，不必展开算。）如果你不用高斯函数，那么就按标准答案一样规规矩矩来，分类讨论后再整合。关于标答请自行百度。点评：此题属于中高档题，以数论中同余的背景来切入高中数学分类讨论的思想，是一道好题。（12年23题）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示）照惯例，先给出官方解答：解：（1）当时，符合条件的集合为：，∴=4。(2）任取偶数，将除以2，

7、若商仍为偶数．再除以2，···经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。于是是否属于，由是否属于及k的奇偶性确定。设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。当为偶数〔或奇数）时，中奇数的个数是（）。∴。标准答案给得很好，通俗易懂，虽然涉及到了一个数论中小小的基本知识：任意一个正整数可以表示为，其中。这道题因为比较巧，比较难，请恕我在短时间内也想不到更好的解法了。这道题应该是近几年江苏附加题最难的一道了。（13年23题）设数列：，，，，，，，，，，，，，即当时，.记.对于，定义集合是的整数倍，，且

8、.（1）求集合中元素的个数；（2）求集合中元素的个数.解：（1）通过计算易知个数为5.（2）思路：尝试探寻的通项，与的通项比较发现规律.①若为奇数，且时，则数列前个