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《多元函数极值、最值、条件极值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结一、多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义例1例２例３有极小值；有极大值；无极值。2、多元函数取得极值的条件证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点偏导数存在的极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：例4求函数的极值。解求解方程组：得驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数不存在。例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点取不到极值.在(0
2、,0)点取得极小值.在点(0,0)并且在(0,0)点都有求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例5.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方
3、体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例6.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价
4、于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.极值点必满足则极值点满足:利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.求解方程组解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.解则例7求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.令下，则令即由(2)-(1)得同理，解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，若则由（1）可得矛盾。于是有于是多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件
5、、充分条件）多元函数的最值四、小结作业：61页1,3,4,8,9
