圆的标准方程教学案例---孙迪飞

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1、<<圆的标准方程>>------------凌海市第一高级中学孙迪飞一、教材内容分析本节是必修2第二章2.3.1圆的标准方程，圆是学生比较熟悉的曲线。在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。本节的学习将为以后学习圆锥曲线奠定基础。二、教学目标(一)知识目标　　1.掌握圆的标准方程

2、：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；　　2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。(二)能力目标　　1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；　　2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；　　3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。(三)情感目标　　通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生

3、勇于探索、坚忍不拔的意志品质。(四)价值观5树立事情之间相互联系，相互转化的辨证唯物主义观点。三、学习者特征分析1．学生是15～17岁的高中生，思维活跃，课堂上喜欢表现自己，对数学学习有浓厚的兴趣；2．学生在学习中随意性非常明显，渴望得到教师或同学的赞许；3．学生已有一定的数学学习能力。四、教学方法根据学习者特征的分析高一学生已经具备了一定的基础知识和技能，因此，本节课主要采用诱思探究的教学方法。借助学生已有的知识引入新知；将以问题为主线，采用“讨论”式，引导学生主动探索，自己构建新知。本节课将借助多媒体环境，资源准备：教学PPT、打印的

4、拓展资源、自制教学图片等增强教学的主观性，同时提高课堂效率。五、教学过程（一）导入新课教师提问引出本节主要内容问题分析，学生探究问题1．确定圆的几何要素是什么?在学生回顾确定直线的要素——两点(或者一点和斜率)确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合圆心与半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的形状画图启发问题2．圆的定义(初中)平面上与定点距离等于定长的点的集合；(高中)｛M｜AM｜=r｝(r为定长，A为定点)问题3.求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤

5、为：5(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；（如图）(2)写出适合条件P的点M的集合P={M

6、P(M)

7、}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，

8、原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M

9、

10、MC

11、=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题4.圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？5这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示

12、圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的概念深化1.概念的理解2.点和圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；或代入法(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．学生练习（课后练习A组题）教师纠错，分别给出正确答案（四）圆的标准方程的

13、应用例1求满足下列条件各圆的方程：（1）圆心（-2,1）过点（2，-2）（2）求以C(1,3)为圆心，并且和直线相切的圆的方程（3）圆心在x轴上，半径为5且过点（2，3）的圆。答案略例2求过点