旋转变换与解题_几何证题

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1、年第期（下）中学数学研究旋转变换与解题、几何证题浙江省宁波市镇海蛟川书院（刘清泉一一几何变换作为种现代数学思想方法、变个长米、宽米的，采用运动化例如图，矩形是的观点研究平面几何旋转变换作为基本合同变换在初中货场是人口现拟在货场内建一个收费站在铁路线数学竞赛中有着广泛的应用通常要求较高技巧段上建一、较强，解个发货站设铺设公路以及之长度题一、证题时，常常抓住图形的某几何特征实施旋转变换往和为年北京市初二数学竞赛）往可以有效地找准辅助线从而顺利地实现由条件到结论的（求的最小值（请指出当取最小值时收费站逻辑沟通本文力求通过例析数学竞赛中的热点问题以及平和发货站台的几何位置面几何中的经典问题来阐

2、释旋转变换在几何解题、证题中的解（如图矩形仙，将应用绕点顺时针旋转°到矩形—。的位置则矩形内的点：、的旋转变换，巧气率例尸为等边内一点戶，和边上的点随之分别旋转到、则四边形仙的面积等于年北京点，有市初二数学竞赛）解十图：如图，将绕点顺时则仰丨针旋转。一点之间的距至即定点到定直线上于是同时为正离）其最小值为点到直线的距离经计算可得三角形则尸广，米）由一当铺设公路总长取得最小值时？，点与点重合，为直角三角形。，点、、、四点共线因为，此时，，。。°故四边形图，所以，故尸于是收费站在°以仙为底边、两底角为的等腰三“。”“”好的几何位置在边的中点小结，发货站台：借助的旋转变换也可将丫字型线段组角

3、形的顶点处“”利用“°旋转变换将“”字型线段组转化为定封闭三角形利用构造出的全等三角形：丫转化为、等边三角小结，“”形一点间的折线段利用垂线段最短确定取、直角三角形得以求解很多与等边、等腰三角形相关的问点与定直线上题常常借助“。的旋转变换”得最值的情形助三角形的相关知识求这个最值，借。例已知点尸是锐角内一点且使二的旋转变换、°最小试确定点的位置并证明结论（年天津市初例在等腰直角三角形中，乙，是中数学竞赛一）内点，使得则边长为解答分别以和为边向外上海市初中数学竞赛—年）作正和正〃△以，解：如图将绕点顺时一一人°至连结易得与的交点即为点针旋转证明：如图，将绕点逆为等腰直角三角形，时针旋转。

4、至易得△从而及，因此为正三角形则押又，，图图尸。进而。故乙，’、其中为定点）显然、、四点共线时，即尸在则°直线上时最小同理点也应在直线，值“”°一一个等腰直角三角上小结：由个的旋转变换构造“”“。”“”形和一对全等三角形在此基础上由题设中的、及小结，，：借助的旋转变换将丫字型线段组转化””“““为两定点间的折线段进而解决几何极值问题派生出来的得到直角三角形求得角度、求解中学数学研究年第期（下）线段换”例如“”图巳知々为正方形仙⑶内部两点且四，、夹半角与旋转变换。，求证么例在凸五边形中年。二薦《数学周报》杯全国初中数学竞赛）乙求证：（年北京市初证明：将绕点顺时针旋数学竞赛）。转〇至△对仲

5、绕点逆时证明：如图将绕点逆、针旋转°至连结、时针旋转至仙连结乂易得’又，易得，、丨贝一！函“；￡为正二角形，图了°厶■，乙由乙乙由士，得为的外心，’°—’得得、、三点共线，又，°。“沉则小结：借助旋转变换’将条件“嗎雇顯、處雇”乙卿勵进而借从而隱華啊霞转化为条件’“”。助全等三角形及相关知识解决问题小结：对于含有的正方形问题其典型解法是利“。”“。”的旋转变换一的旋转变换五位似旋转变换用伴随着每个都对、°“”“应一反射变换即证明中的例如图中乂点个（部分另外很多与正方形、等腰直角三角形相在内且，求的面积关“°”的问题常常借助的旋转变换年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）。。三、的旋转变换解

6、：由乙及、。得。例如图已知厶乙￡：￡可乙仏方如图，作，使广是：的中点，求证：以且丄年四川省初二数学竞赛）由得其相似比为于证明°：将绕点旋转是冬乙，，图至。￡连结，则仙￡，乙，。。由及可得，于是担户故。。。’乙进而从而，，又。图’则一乙°°。故又乙仙，“小结显然一条边长即可考虑到题，只需求出的由“”“”、￡得以寻求设中的丫字型线段组，角度求解为切人点通过“位似旋转变换”构造“相似三角形”进而解决问题利用“”“三角形”也有比较广泛的应用位似旋转变换构造相似，°丄’又乙广如证明托勒密不等式等°“”“”小结：利用中点进而解、构造全等完成中心对称，“°的旋转变决问题很多与中点相关的问题可以借助