六奥第十六讲 勾股与弦图

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1、第十六讲勾股与弦图【知识概述】在小学奥数中，会涉及到很多有关正方形的图形面积问题，我们在解决类似问题的时候，用的比较多的就是弦图和旋转。1.弦图弦图其实是在勾股定理的前提下引出的，大家知道，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。自古至今，勾股定理的证明方法不下百种，这里我们借助其中的一种来进入今天的学习。第一种拼法：有四个完全相同的直角三角形，直角边分别为a和b（假设a＞b），斜边为c，将他们按下图方式，拼成正方形。图中AF=a，DF=b，AD=c，正方形ABCD的面积等于正方形的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形EHGF的

2、面积=4××a×b+=+即+=第二种拼法：有四个完全相同的直角三角形，直角边分别为a和b（假设a＞b），斜边为c，将他们按下图方式，拼成正方形。图中AE=a，AH=b，EH=c,正方形ABCD的面积=正方形ABCD的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形EHGF的面积=4××a×b+=2ab+故=2ab+即得到+=熟记这两种图形的模型，对我们解决有关正方形的面积有很大帮助。勾股定理：直角三角形两直角边的平方的和，等于斜边的平方。【精选例题】例1、如图所示，在直线l上的一侧摆放着七个正方形。已知斜放置的3个正方形的面积分别是1，2，3，水平放置的四个正方形

3、的面积依次计为S1,S2,S3和S4。试确定S1+S2+S3+S4的值.。例2、如图所示，4个形状大小完全相同的直角三角形和一个面积等于4的正方形，恰可拼成一个面积等于52的大正方形，试确定直角三角形的两条直角边的长。例3、小华与小明分别用4个形状大小完全相同的直角三角形拼图。小华拼成的长方形的周长等于20cm.小明拼成一个大正方形，而大正方形中间有一个面积为1cm2的小正方形的空洞。求小明拼成的大正方形的周长？例4、如图，三角形ABC中，∠ACB=90O，分别以AC,BC,AB为边向形外作正方形ACGF,BCHK和ABDE，正方形ABDE的面积是25平方

4、厘米，正方形BCHK的面积是9平方厘米，问：图中阴影四边形AFBD的面积是多少平方厘米？例5、如图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角ADE的面积。BADEFC例6、ABC是一个直角三角形，分别以AC、BC为边向DABC外作正方形，又以AB为斜边向DABC外作等腰直角三角形DABD，AD=BD。若阴影部份和为8，求DABD的面积。例7、如图，已知四边形ABCD和DEFG为正方形，且三角形ADG的面积为5，求三角形DEC的面积。例8、下图是一个面积为、的四边形．其两条对角线和在四边形的内部相交，当，，时，

5、求的面积．例9、是直角三角形，在边、、上分别取点、、，使得．当成为等腰直角三角形、、时，求的面积。例10、如图，是正方形外面的一点，厘米，的面积是平方厘米，的面积是平方厘米。请问：正方形的面积是多少平方厘米？【课后习题】1.如图，由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），问大正方形的面积是多少?2.如图直角梯形ABCD中，AD与BC平行，且AB与BC垂直，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是多少？3.如图，梯形ABCD中，AB与DC平行，，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形

6、外作正方形，其面积分别为，则之间有什么样的关系？4.如图AE＝AB，BC＝CD，∠EAB=∠BCD=90°，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为是多少？5.如图所示，沿长方体表面系一根绳子连接A点与B点。如果让绳子的长度达到最短，其长度应是多少厘米？6.如图，三角形AGD的面积为5，分别以AG、GD、AD为边向外作正方形AGHI、DGFE、ABCD，求++的值。7.如图所示，4个相同的等腰三角形与一个边长为6厘米的正方形相连。将四个三角形向上折可形成一个锥体。若锥体的高是4厘米，则这个锥体的表面积是多少？