矩阵特征根与特征向量同步求法

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1、第24卷第4期辽宁师范大学学报(自然科学版)Vol.24No.42001年12月JournalofLiaoningNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Dec.2001文章编号:100021735(2001)0420441203矩阵特征根与特征向量同步求法王冰X(大连市教育学院数学系,辽宁大连116021)摘要:利用对矩阵的特征矩阵进行初等变换,给出了矩阵的特征根和特征向量的同步求法,方法简单易行.这种方法避免了传统求法中过多的计算量.关键词:特征根;特征向量;基础解系中图分类号:O15文献标识码:A求

2、矩阵A的特征根和特征向量,一般方法是先求出矩阵A的特征多项式f(λ)=

3、λE-A

4、的全部特征根,然后对每个特征根λi(i=1,2,⋯,n)求解齐次线性方程组(λiE-A)X=0的一个基础解系,即为A的属于特征根λi的线性无关的特征向量.这种方法要解多个齐次线性方程组,计算量较大,费时费力且容易出错.本文给出的方法与传统方法不同,是在求矩阵特征根的同时就得到属于特征根的特征向量,手段是矩阵的初等变换,简单易行,其理论依据是下面的两个定理.Er0定理1设齐次线性方程组Am×nX=0的系数矩阵A的秩数r

5、n-r列便构成线性方程组的一个基础解系.Er0证明由于PAQ=,所以00Er0Er0-1AQ=P=(P1,P2)=(P1,0)0000而另一方面:AQ=A(Q1,Q2)=(AQ1,AQ2),于是(AQ1,AQ2)=(P1,0),从而AQ2=0.即Q的后n-r列Q2的诸列为方程组AX=0的解向量.因为Q为非奇异矩阵,所以Q2的n-r列线性无关.故它们构成方程组AX=0的一个基础解系.至于如何求得矩阵Q,从而得到Q2,从上面的证明过程可以看出,需要进行如下计算:Pm×r0因矩阵A的秩为r,A有r列线性无关,于是矩阵(A,En)经一系列的初等变换化

6、为,其Q1Q2中秩P=r,便得到Q2.定理2n阶矩阵A的特征矩阵(λE-A)经列的初等变换可化为下三角λ矩阵(λE-A)～«1(λ)0«2(λ)=G(λ)3«n(λ)其中«1(λ)·«2(λ)⋯«n(λ)的根就是A的特征多项式f(λ)=

7、λE-A

8、的根.该定理的证明是平凡的,这里不再赘述.λE-A列初等变换G(λ)由定理1的结论,当时,对于矩阵A的每个特征根λi,如果秩G(λi)=EQ(λ)X收稿日期:2001207215作者简介:王冰(19642),女,辽宁大连人,大连市教育学院副教授.442辽宁师范大学学报(自然科学版)第24卷G(λ)n

9、-ri,则在矩阵中,如果G(λi)中恰有ri个0列,则Q(λi)中与这ri个0列相对应的列便是方Q(λ)程组(λiE-A)X=0的基础解系,即为A的属于特征根λi的线性无关的特征向量;如果G(λi)中的0列G(λ)少于ri,则对继续作列的初等变换,直到G(λi)中的0列个数为ri,然后再同上取Q(λi)中与这Q(λ)0列对应的列.011例1求矩阵A的特征根和特征向量A=11-1011λ-1-1-1020-1λ-111λ-2λ-1λE-A20-1λ-1λ-1-λλ-λ解:=～E1000010100100011-1λ-100-1001λ-2111

10、02λ-1λ22λ-1λλ-λ(λ-1)G(λ)～～=00101-λ+2Q(λ)01-10-1λ-121-1λ+11λ+1-λ+λ+12由λ(λ-1)=0知A的特征根λ1=0,λ2=λ3=1当λ=0时-1001102G(0)-100=特征向量α1=-1Q(0)01210-1-1111当λ=1时-1001101G(0)010=特征向量α2=0Q(0)01110-10121100例2求矩阵A的特征根和特征向量,这里A=-2-11001λ-100λ-1002λ+1-12-10λE-A200λ-10λ-1λ-1解=～E1001000100010010

11、1λ+1第4期王冰:矩阵特征根与特征向量同步求法易见A的特征根λ1=λ2=1,λ3=-1.当λ1=λ2=1时,因G(1)的非0列线性相关,所以需要继续进行列的初等变换0000002-100-10G(1)000000=～Q(1)10010000100101221210于是,属于λ1=λ2=1的特征向量α1=0,α2=1.220当λ3=-1时,易得特征向量α3=1.0参考文献:[1]谢帮杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社,1978.[2]任化民.线性代数习题讲义[M].长春:吉林大学出版社,1991.AMethodforFindingthe

12、EigenvaluesandEigenvectorsofaMatrixWANGBing(DepartmentofMathematics,DalianEducatio