行列式乘法法则

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1、一、k级子式与余子式、代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理§2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则三、行列式乘法法则数学科学学院李本星一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称为k级子式M的余子式；余下的元素按照原来的次序组成的　　级行列数学科学学院李本星若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，则在M的余子式前后称之为M的代数加上符号余子式，记为.注：①k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有个k级子式

2、）．时，D本身为一个n级子式．②时，D中每个元素都是一个1级子式；数学科学学院李本星二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．数学科学学院李本星Laplace定理由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取k()行，代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式则.，它们对应的代数余子式分别为为数学科学学院李本星②①时，即为行列式D按某行展开；注：为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．数学科学学院李本星例1：计算行列式

3、解：,,,,,.它们的代数余子式为数学科学学院李本星,,,,,.∴数学科学学院李本星三、行列式乘法法则设有两个n级行列式其中则数学科学学院李本星证：作一个2n级的行列式由拉普拉斯定理数学科学学院李本星又对D作初等行变换：可得这里数学科学学院李本星从而数学科学学院李本星例2：证明齐次性方程组只有零解．其中不全为0．数学科学学院李本星证：系数行列式数学科学学院李本星由不全为0，有即，故方程组只有零解．数学科学学院李本星例3设证明：其中为元素的代数余子式。数学科学学院李本星