利用导数研究不等式恒成立问题教程

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1、导数复习系列（3）——利用导数研究不等式的恒成立问题1．设函数f(x)＝，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________．2.已知，,命题“”是假命题，则的取值范围是_______.3.(2012·无锡调研)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．4.（2008江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为.5．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x

2、)成立，求实数a的取值范围；变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．6.1．设函数f(x)＝，对于任意实数x∈[－1，2]，f(x)≤m恒成立，则m的最小值为________．2.已知，,命题“”是假命题，则的取值范围是_______.3.(2012·无锡调研)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．(2)当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立．当x＞0时，在e＞x两边取自然对数，得＞lnx.①当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0时，不等式恒成立；当a＜0时，lnx＜0，alnx＞0，

3、不等式等价于a＜，由(1)得，此时∈(－∞，0)，不等式不恒成立．②当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于a＜，由(1)得，此时的最小值为e，得0＜a＜e.综上，a的取值范围是(0，e)．4.（2008江苏）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为.【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0即x∈（0，1]时，≥0可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0即x∈时，≥0可化为，在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4

4、【答案】45．(2012·宿迁市联考)已知f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；变式：证明对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)．令f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在上单调递减；在上单调递增．故当x＝时，f(x)取最小值为－.(2)解　存在x∈(0，＋∞)，使f

5、(x)≤g(x)成立，即2xlnx≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥2lnx＋x＋在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥(2lnx＋x＋)min.记h(x)＝2lnx＋x＋，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝＋1－＝＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0.所以当x＝1时，h(x)取最小值为4，故a≥4.(3)证明　记j(x)＝2，x∈(0，＋∞)，则j′(x)＝2.当x∈(0,1)时，j′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，j′(x)＜0.所以当x＝1时，j

6、(x)取最大值为－.又由(1)知，当x＝时，f(x)取最小值为－，故对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)＞2成立．6.