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1、几何学的邂逅---这门课的主题是与以下三个定理相关的数学故事.(1)笛沙格定理：若2个3点形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。(2)帕斯卡定理：圆上6点形3枚对应边的交点共线。(3)蝴蝶定理：笛沙格定理：设一个三角形的三个顶点为,另一个三角形的相应顶点为.若这两个三角形相应顶点的连线共点,则此两个三角形相应边的交点三点共线.帕斯卡定理：设是圆上的6点---和相交于一点，和相交于一点,和相交于一点。则三点共线。蝴蝶定理：设是圆里一点.是经过点的三枚不同的弦。又设与相交于两点。则经由有。注释:或许在这一短篇的前面和后面你可以增添诸多的文字以呈现这门课的主题或者别的哲
2、思.初等数学篇：上一篇章中呈现的三个定理：笛沙格定理,帕斯卡定理与蝴蝶定理有着初等几何的证明。在步入三个定理的证明之初，我们先说说梅涅劳斯的一个很有名的定理――梅涅劳斯定理(逆定理)：如图,设分别是三点形的三边上的点,则三点共线当且仅当.上述定理的必要性即为梅涅劳斯定理，充分性则为梅涅劳斯定理的逆定理。这一定理的证明可见――.注释:问你觉得在这里需要给出梅氏定理的证明么?还是可留待在附录里…然后看看在这里会加点什么文字-笛沙格定理：设三点形和对应点的连线，，共点于。又，，。则三点共线。分析与证明：此定理的证明可建筑在上面的梅涅劳斯定理之上。其关键点在于读出适宜的三点形与
3、点缀线――将直线作为三角形的截线，经由梅涅劳斯定理，有类似的,我们有将直线作为三角形的截线，可得将直线作为三角形的截线，可得将等式左右两边分别相乘，消得旁观三点形，经由梅涅劳斯逆定理可得三点共线。经由梅涅劳斯定理和其逆定理可以证明如下的帕斯卡定理(本圆版)：设是圆上的6点---和相交于一点，和相交于一点，和相交于一点。试证明：三点共线。设交于一点，交于一点；和相交于点。回眸：我们只要证。然后由梅尼劳斯之逆定理可知三点共线弦之影：经由梅尼劳斯定理之相缀于：之相缀于：之相缀于：圆之缘：经由圆幂定理于是有。由梅氏定理之逆定理可知三点共线问曰：一般二次曲线下的情形何如？童真的年
4、代...如果与蝴蝶定理相识，则伴随我们的数学故事是否会多一分精彩?蝴蝶定理.如图,设是弦的中点。是经过点的两条不同的弦。又分别交于两点。则有。这一定理的一种初等几何的证明如下：证明:连接我们有进而我们有从而。注释：经由上面的证法，我们其实有如下的定理.如上图,设是弦是经过圆内一点的三条不同的弦。又分别交于两点，则平分当且仅当平分.此即：这一定理的充分性为蝴蝶定理。必要性可曰蝴蝶定理的逆定理。注释：蝴蝶定理的证法是非常多的。也可借助于梅氏定理来证明。注释:问你是否可以在这里再多加上一点文字~高中数学篇解析几何的思想就是用代数方法来研究几何问题，因此需要规定坐标系使得点的坐
5、标与实数对之间能有一一对应的关系。而几何中的图形因为都是由点构成的，所以它们都可以用代数方程来表示。由此看出，通过坐标系可以把几何问题转化成简单的代数问题来解决。笛沙格定理的再现：设三点形和对应点的连线，，共点于。又，，。则三点共线。分析与证明:以为原点建立直角坐标系。设-的坐标分别是其中。(I)往下希望给出点的坐标:设。于此先求出(1.1)直线的方程,它们分别是的方程：的方程：解联立方程得的坐标是注释1:这里的计算可以经由克莱姆法则有(1.2)类似的,经由对称性可算得的坐标分别是(II)为证三点共线,只需证如下的注释2:给定平面上三点的坐标,则以此三点为顶点的三角形的
6、面积为－由此可得：三点共线当且仅当注意到（I）中的的取值,转化为求证利用行列式的相关性质,可简化计算和证明(III)利用行列式的相关性质计算可得其中因而三点共线。注释：从中学数学的尺度，或可解答如下－在求的点的坐标后(1.3)问直线的方程：经由和的直线方程形如下――可简化为经整理得到：可消去公共项，得到直线的方程为：(II)经由对称性,可算得直线的方程形如下：(iii)比较直线的方程和直线的方程，两者是一致的。此即三点共线,作业：(1)试证明:给定平面上三点的坐标,则以此三点为顶点的三角形的面积为－(2)试计算上面证明的结论：(3)理解上定理的证明和说说的感想---数学
7、微博一篇。思考题：请给出笛沙格逆定理的证明。帕斯卡定理(本圆版)：设是圆上的6点---和相交于一点，和相交于一点，和相交于一点。试证明：三点共线。Pascal定理的解析几何证明：如图建立直角坐标系，设圆上六点的坐标为：由题意可知，点分别是直线和的交点,和的交点,和的交点。设其坐标分别是。往下依次计算所得坐标值。[1]由直线方程的两点式可算得直线的方程为：同理可得直线方程为：。则进而可联立两条直线方程：解得：，[2]同理可求得，[3]同理可求得，。经计算得(或可借助于MM--)因而三点共线。注释:-许多天后让我们再回到此一游，心情是否有点不
