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《高中数学 2.5《平面向量应用举例》教学设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2.5《平面向量应用举例》教学设计【教学目标】1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.【导入新课】回顾提问：（1）若O为重心,则++=.（2）水渠横断面是四边形,=,且
2、=
3、,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了
4、用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来.新授课阶段探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行中，设＝,＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过
5、向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果“翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．7求证：．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到，，我们计算和．证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，
6、a
7、2，
8、b
9、2．得(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=
10、a
11、2+2a·b+
12、b
13、2．①同理,
14、a
15、2-2a·b+
16、b
17、2．②①+②得2(
18、a
19、2+
20、b
21、2)=2(
22、)．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况.师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：中，D、E、F分别是A
23、B、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设（1）证明A、O、E三点共线；（2）用表示向量.例2如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．7解：设a，b，则a+b．因为与共线，因此，存在实数m，使得=m(a+b)．又因为与共线，因此存在实数n，使得=n=n(b-a)．由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得a＋b＝0．由于向
24、量a、b不共线，所以有 解得所以．同理．于是．所以AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这
25、种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设
26、F1
27、=
28、F2
29、，由向量加法的平行四边形法则，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到7
30、F1
31、=．通过上面的式子我们发现，当由逐渐变大时，由逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此，
32、F1
33、有小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴为何值时，
34、F1
35、最小，最小值是多少？⑵
36、F1
37、能等于
38、G
39、吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平
40、行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度
41、v1
42、=10km/h，水流的速度
43、v2
44、=2km/h，问行驶航程最
