陈雨涵《几种多元函数条件极值的解法之比较》

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1、几种多元函数条件极值的解法之比较陈雨涵摘要：多元函数的条件极值是数学分析和髙等数学中的一个重要内容，它的一般求解方法为拉格拉朗tl乘数法。给出了四种求多元函数条件极值的方法并比较了适用的条件及难易程度，以便在求解类似的问题吋选择适当的方法。关键词：条件极值；柯西不等式；均值不等式；拉格朗日乘数法；梯度引言多元函数的条件极值是数学分析和高等数学屮的一个重要内容，其求解方法一般以拉格拉朗日乘数法为多。尝试用柯西不等式、均值不等式、拉格朗日乘数法和梯度法求解，并比较了适用的条件及难易程度，旨在为同行在遇到求

2、解类似问题吋提供参考与选择。一、柯西不等式法柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个非常重要的不等式，某些函数的极值、最值可以转化为柯西不等式的形式求解。柯西不等式：对于任意的实数^，色,…,。”和勺，b，…,仇，总有+…+d/0”)—@1++…+)(勺+b?+…+bn)(1)简述为'积和方不大于方和积R,b.e/?,当且仅当实数引卫2,…,％与勺，仇，…，hn对应成比例吋，等号成立由此，得到两个重要结论：?S2(1)若alxi+cl2x^+…+anxn=S

3、,则HFn—山cr—+—+•••+—Sb2bnJ222(―—HH1)'TSb2bn(其中1)严/?+z=l,2,•••,«)[2]o运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配，凑”成柯西不等式的左边或右边的形式，最终求得极大值或极小值。例1：已知(x-2)2+(y+l)2+(z-4)2=9,求/(x,y,z)=2x—2y+z的最值。解：首先将/(x,y,z)=2x-2y-bz变形为/(兀,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4)+10；再设gCr,y,z)=2(x一2)-2(y+1)+

4、(z-4),于是，根据柯西不等式(1)及已知条件，有[2(x-2)-2(y+l)+(z-4)]2<[22+(-2)2+l2].[(x-2)2+(y+l)24-(z-4)2]=81即：-9<2(x-2)-2(y+l)+(z-4)<9兀_2二y+z_4*当且仅当2-21时，等号成立;0—2)2+(y+l)2+(z_4)2=9k=x=4t即当｛时，gU,y,z)max=9；y=—3z=5k=-l,x=0,当｛1时，g(兀,歹以)^=一9,z=3所以,/(x,y,z)max=19；f(x9y,z)min=

5、U二、均值不等式法利用均值不等求函数的极值，也是要把函数先进行变形，再利用“积定”求和的极小值或是“和定”求积的极大值。(2)均值不等式：町兀血…心5石+勺+•••+£(当且仅当禹=总=・・・=£时，等号成立;nXj>OJ=1,2,…必；)在应用均值不等式(2)时，无论怎样变形，一定要满足“一正二定三相等”的条件。例2：已知丄+丄丄丄,xyz2(x>0,y>0,z>0),求/(x,y,z)=2x+2y+2z的极小值。解:Tx>0,y>0，z>0,二/(圮”z)=2x+2y+2z=4(x+y+z)-—=

6、4(x+y+z)•(—+—+—)2xyz=4(3+-+^+^+-+-+-)>4(34-2+2+2)=36(当且仅当x=y=z=6时,等号成立)。yxzyzx此题如果改用柯西不等式法求解也很简单。三、拉个朗日乘数法拉格朗FI乘数法是求多元函数条件极值的一种最常用方法，求目标函数/(州，兀2,在条件函数件.(西，兀2,…,£)=0，(k=1,2,•••,777,77?

7、px2,---,xj数法求极值。首先，构造拉格朗日函数厶（旺，兀2,…，兀八，入，…人J=兀1，兀2,…，£）+Y人％（兀i，兀2,…，兀』R=1芈=0J=1,2,…并然后，解方程组/1。从此方程组中解出驻点的坐标，花（兀;°）用°）,…兀絆），进——=0,k=z,2,…m而求出函数的极值⑶*。例3：求出椭球二+与+二=1在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积。cTb「c解：此椭球在点P（xoy0zo）处的切平面为a~（x_X0）+*~（y_yo）+m~（z-Zo）=O,化简得:一2>

8、22续x+誇y+臬z=l,此平面在三个坐标轴上的截距为■，冬则此切平面与三坐标面所围X少L心Joz°成的四面体的体积为：V=a2b2c26兀0妒0由题意可知，体积存在最小值，要使V最小，则需xoyozo最大；即求目标函数/（x,y,z）=xyz在条件二•+—+=•=1下的最大值，其中x>0,y>0,z>0,L拉格朗日函数为厶（兀,％z,a）=卩z+/i（N+L+二一1）。crtrc2dL2xA=yz+^=0;OX0dL2yAA解得ab—=xz+—5-=0