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1、清艳•高中一对一学科教师辅导讲义(数学)••••学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：课次：第次方程的根与函数的零点一、教学目标：1・理解函数零点的定义2.了解函数零点与方程根的等价关系3.理解函数零点存在性定理4.能够判断函数零点个数和所在区间二、教学重点：方程的根与函数零点的等价关系，函数零点存在性定理。三.教学难点：探究函数零点存在的条件。四.教学内容：1.零点的概念：问题求方程/_2x_3=0的实数根,并画岀函数v=-2x-3的图象。-1，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这
2、个函数的函数值为0,它又是函数图象与x轴两个交点的横坐标。这样-1,3就把函数与方程联系到一起了，在方程里，-1,3叫做方程的实数根，在函数里，它能够使得函数值为0,我们就称它为函数的零点。对于函数j=/(x),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点(zero间题2：求函数卄x】-2x+l和函数-2x+3的零点。结论：函数y=/(x)的零点是个实数,是方程/(x)=0实数根,是函数y=/(x)的图象与x轴交点的横坐标。例1：已知函数f(x)=x2—1,则函数f(x—1)的零点是•解析
3、：由f(x)=x2-l,得y=f(x-l)=(x-l)2-l=x2-2x,・••由x2~2x=0.解得xl=0,x2=2,因此，函数f(x-l)的零点是0和2.例2：函数f(x)=log5(x—1)的零点是()A.OB.1C.2D.3解析：选C.log5(x—1)=0,解得x=2,函数f(x)=log5(x—1)的零点是x=2,故选C.问题3:探究一元二次方程必2+加+°=0@工0)的实数根和对应的二次函数/(x)=ax(3)/(x)=(x+2)(x+l)(x一l)(x-2)(xe[-3,3])用图
4、象举出反例，引导得出结论：一bx+c(a丰0)的零点及图象与x轴交点的关系。(填下面表格)A=—4acA>0A=0A<0方程的实数根+-b—Jb：-b儿=*=一—-•2a无=x.='2a•2a函鱷象与X轴姒^(xls0).(x2,0)b(-—,0)12a磁点函数的零点xi，x：b无零点2-方程的根与函数界点的等价关系函数EI©有零点。方程加)=0有实数根0J函数尸心)的髒与k轴有交点心对方程，它是实数根，使得方程成立；对函数，它是零点，是函数的自变量，使得函数值为零；对函数图彖，它是图彖与x轴交点的
5、横坐标。所以函数有零点，方程就有实数根，函数图彖就与x轴有交点。对于函数尸f(x)有零点xO,从“数”的角度理解，就是方程f(x)二0有实数根xO；从“形”的角度理解，就是函数图彖与x轴有交点(x0,0)o即是说，函数有零点，等价于函数图彖与x轴有交点。从我们刚才的探究过程屮知道，方程f(x)=O有实数根和图彖与x轴有交点也是等价关系。所以函数零点实际上是方程f(x)二0有实根，图象与x轴有交点的三者的一个统一体。3.界点存在性走理如果国数vg)在区间［M］上的團象是连续不断的一条曲线，并且有血)爪
6、)卩那么，函数"X)在区间(讪内有零点，即存在c€(M),使勖c)=0,这个也就是方程爪戶0的根。思考：这个定理给出了判断连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点的条件。那么，对于一^y=f(x),仅仅知道f(a)・f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上就一定存在零点吗？例2判断下列函数是否有零点，如果有，请求出零点个数。同学们请画出函数的简图，加決回答。确定；3.若函数y二f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)・f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点；4.在零
7、点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。(零点存在唯一性定理)现在我们经搞清楚了定理的实质是给出了连续函数在［a,b］±存在零点的条件。既然有了“零点存在性定理"这一工具，我们当然就可对那些不能直接求解的方程及其对应的函数根和零点进行探求。不解方程，通过函数图象，也能判断函数零点是否存在，如果存在，个数也容易判定。4.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(1)利用零
8、点存在性定理进行判断；(2)画岀函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.1.判断函数零点个数的方法⑴直接法：解方程f(x)=O,方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)=O«h(x)—g(x)=0<=>h(x)=g(x),贝I］函数f(x)的零点个数即为函数y=h(x)与函数y=g
