2015年全国高中数学竞赛(安徽赛区)初赛试题及答案

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1、2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）题号一二总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数的最小值是．2.设．数列的通项公式是．3.设平面向量满足，则的取值范围是．4.设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在中至少有个零点．5.设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是.6.给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的轨迹方程是．7.设为复数，其中是实数，是虚

2、数单位，其满足的虚部和的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是．8.设是正整数．把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是．第7页（共7页）二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）1.设正实数满足．求证：．2.在如图所示的多面体中，已知都与平面垂直．设，．求四面体与公共部分的体积（用表示）．第7页（共7页）1.设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形的面积的最大值不是整数。2.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中

3、至少有5道相同．第7页（共7页）2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷参考答案一、填空题（每题8分，共64分）1.当时，,因此单调减；当时，，此时亦单调减；当时，，.令得因此在处取得最小值6-2ln2．2.设．方程有实根双曲线与圆有公共交点.注意到圆的圆心位于直线之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为或.因此，a的取值范围为．3.由和，可得．故．4.．．以上等号均可取到．故的取值范围是．5.由题设可知。令x=0得。另一方面，类似地，因此，在中的零点一定包含这11个零

4、点．第7页（共7页）1.设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为.则的方程为．设，由与垂直且中点在上，可得．由解得，代入得的轨迹方程为，．2.等价于.又由于，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为．8.从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有种选法，把他们配成n对男双选手有种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是．二、解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9.证明：对任意，由均值不等式有----------------------------------（5分）因此，．-----------

5、-（15分）第7页（共7页）同理，对于任意，因此，．---------------------（20分）10.设，则四面体是与的公共部分．-----------------------------------------------------（5分）易计算得：到直线的距离，---------------------------------（10分）到平面的距离，------------------------------------------（15分）到直线的距离，．----------------（20分）因此，．---------------------（22分）1

6、1.不妨设是凸四边形，其面积为S．记。由，可得，--------------（8分）两遍平方和得等号成立当且仅当，即四点共圆--------------------（16分）现根据假设为四个连续整数由此第7页（共7页）.显然因此，S不是整数。----------------------------------------------------（22分）10.证明：设是所有试题的集合，是第位学生解出的试题的集合，．题目即证存在使得．--------------------------------（5分）不妨设．共有个三元子集，每个恰包含4个三元子集．因此，存在使得包含相同的

7、三元子集，．---（15分）从而，．-----------------（22分）第7页（共7页）