极角为参数的双曲线参数方程

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1、极角为参数的双曲线参数方程张鹏宇青岛市第五十八中学摘要：圆锥曲线的参数方程是高中数学中的难点内容之一，只有真正理解了方程中的参数含义，才能有效掌握与灵活运用这-部分知识。双曲线作为i种重要的圆锥曲线，其参数方程必须得到重视与理解。教材屮双曲线的参数方程以离心角作为参数，虽然参数方程形式简单，但是离心角作图复杂，不易直观理解。为了体现参数方程中参数的直观易懂性，选用极角作为参数构造了双曲线的另外一种参数方程。对照两种参数方程，对双曲线参数方程的理解与掌握十分有益。关键词：双曲线;参数方程;离心角;极角;回忆圆的参数方程：圆x+yr二的参数方程为x二rcos。，y=rsi

2、n0,参数0是圆上点P(x,y)与圆心连线绕圆心相对于x轴的正方向的旋转角。结合教材中刚学过的极坐标知识，发现圆的参数方程屮的参数0恰为圆上点P(x,y)的极坐标中的极角。类似的，下面选取双曲线上点的极角作为参数，构造出了双曲线的另外一种参数方程。1平面极坐标系知识回顾在平面上取一定点0,称为极点，由0出发的一条射线0X,称为极轴，极点与极轴便构成了极坐标系。有了极坐标系后，平面上任一点P的位置就可以用线段的长度P=

3、0P

4、以及从Ox到0P的角度0(规定角度取逆时针方向为正)来确定，有序数对(P,9)就称为(P,0)点的极坐标，记为P(p,0),p称为P点的极径，0称

5、为P点的极角。当限制P20,0^0<231时，平面上除极点0以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。2双曲线的新的参数方程定理:在直角坐标系Oxy中，设P(x,y)是双曲线上一点。选原点0为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系。设点P(x,y)的极坐标为(P,0)。则以极角0为参数时，双曲线的参数方程如下：双曲线中左支曲线的参数方程为:双曲线屮右支曲线的参数方程为:证明：(1)先讨论双曲线右支曲线的参数方程。0^0

6、线方程为：,求证该双曲线上的所有点与两条渐近线的距离的积是一个定值。证明：方法一:用教材中参数方程做。设M（asecQ,btan（

7、））为双曲线上任意一点,两条渐近线的方程为bx+ay=O;bx-ay=O,由点到直线的距离公式易得:M点到两条渐近线的距离为贝IJ:方法二:用本文给岀的参数方程做。设为双曲线右支曲线上任意一点（在左支上时类似），两条渐近线的方程为bx+ayO二;bx-ayO二，由点到直线的距离公式易得:M点到两条渐近线的距离为：比较发现，本文给岀的参数方程有两个缺点:一是需要分情况，参数方程不是一个解析式;二是解析式屮含有分式。与教材屮给出的参数方程比，

8、形式更复杂，从而在做题时比较繁琐，因而选用教材中结果为好，这也体会到了教材中为什么给出以离心角为参数的参数方程，不给出用其他变量为参数的参数方程。当然,木文给出的参数方稈能一眼看出参数的几何意义，理解起来更直观，对理解教材中曲线的参数方程部分的相关知识有帮助。4结语通过选用极角作为参数给出了双曲线的一种参数方程。该方程的优点是参数简单直观，容易理解;缺点是参数方程不是一个解析式，形式较复杂。教材中给出的参数方程，优点是参数方程是一个解析式，形式简单;缺点是参数是离心角，作图复杂，不易直观理解。将这两种参数方程对比学习，对理解与掌握双曲线的参数方程部分的相关知识十分有益

9、。参考文献[1]中学数学教材实验硏究组等.普通高中课程标准实验教科书一一《数学》(选修4-4)[M]•北京:人民教育出版社,2013.[2]梁峻峰.双曲线的一种参数方程[J].数学教学，1988(4):25-29.[3]吴秀娟•双曲线的参数方程[J]•甘肃教育,2005(11):53.