点到直线的距离公式的十三种证明方法

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1、万方数据￡．锨幺镌穰彩爱踢绲舅私绳。儡舅爱锣中学数学杂志2009年第1期点到直线的距离公式的十三种证明方法湖北省鄂州市沼山中学436061余树林袁新宝点到直线距离公式是一个很重要的公式，然而很多老师和学生更多的只是重视它的应用，而对于公式本身的证明却未引起足够的重视，尽管教材中提示大家“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式”，但依然不能引起广大师生的足够重视，笔者以为：对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值．下面笔者从不同角度来思考点到直线的距离问题，得到多种用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法，供

2、各位同仁参考．已知点P(‰，Yo)，直线Z：Ax+By+C=0(A、B均不为0)，求点P到直线Z的距离．(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线)1用定义法推导点到直线的距离公式如图l，点P到直线Z的距离是点P到直线Z的垂线段的长，过点P做直线z的垂线为六垂足为Q，由z上z，可知f，的斜率为导．所以z，的方程：y-Yo：导(戈一菇。)与Z联立方程组．解得交点yP戈，～D／一／图1Qc争等，盟等，IPQ2=(盟茅一B2Yo—ABxoA2+B2(—B—2x—o——-iA—_B—y—oj-—-—A—C一一菇。)2+A、2+B2“o7’、2一YoJ—

3、A2菇。一AByo—AC、2A2J-B27删删=等等·2用设而不求法推导点到直线的距离公式如图2，过已知点P(x。，Yo)作已知直线l：Ax+By+C=0的垂线，设垂足为Q(x，Y)，则{鬻’：o简图2得IA(y—yo)一B(戈一戈。)：otA(x一戈o)+B(y—Yo)=t(Axo+Byo+C)把上面两式相加得：(A2+曰2)[(戈一XO)2+(Y—yo)2]=(Axo+Byo+C)2，所以d=~／(省一X0)2+(Y—Yo)2=!垒兰!±皇兰!±鱼!而丽。3用目标函数法推导点到直线的距离公式点P(xo，Yo)到直线l：Ax+By+C=0上任意一

4、点的距离的最小值就是点P到直线z的距离．在Z上取任意点M(x，Y)，由两点的距离公式有lPM2f=(菇一X0)2+(y—Yo)2．为了利用条件舭+By+C=0，将上式变形一下，配凑系数处理得：(A2+曰2)[(菇一X0)2+(Y—yo)2]=A2x—X,0)2+B2(y—Yo)2+A2(y—yo)2+B2(髫一‰)2=[a(x一算o)+8(y—Yo)]2+[A(y—Yo)一B(xo—X0)]2≥[A(x一菇o)+B(y—Yo)]2=(Axo+Byo+A2(Axo+B‰+C)2+B2(Axo+Byo+C)2一(A2+B2)2(A戈o+Byo+C)22

5、—■F再厂所以~／(石一戈o)2+(Y—y0)2≥I』4茗o+Byo+CI、?嚼弋i当且仅当A(y一‰)一B(x一‰)=0时取等号．所以最小值就是d：L丝哼譬掣√A‘+B‘4用柯西不等式(课本习题结论)推导点到直线距万方数据中学数学杂志2009年第1期离公式旧教材(人教版，代数下册·必修)第15页习题十五第6题结论“求证：(Ⅱ2+b2)(c2+d2)≥(ac+6d)2，当且仅当口d=bc，即旦=导时等号成立．”Ca实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式．设肘(髫，Y)为直线1：Ax+毋+C=0上任意一点，任意点P(xo，

6、‰)到直线Z的距离为d，则：lPMl=~／(戈一X0)2+(y—Yo)2，所以lP肘l2=(Ax—Axo)2(By一甄)2—■r十—■厂卅2彬)l朋12-(A2+鳓[掣．(By—Byo)21十——否厂～j≥(Ax—A石o+母y一召九)2=(一Axo—Byo—C12所以d=IPMI血=L竺与罢掣，当且仅~／A2+艿‘当上：—旦-时等号成立．筇一石oY—Yo5用解直角三角形法推导点到直线距离公式，y哆-／jp尸f、≮D‘、6＼x图3如图3，设直线Z的倾斜角为口，过点P作Y轴的平行线交Z于C(xl，Y1)，显然省l=戈o，所以Y1=一A石o+C—面一‘所

7、以lPGI_ly0+竽l-AxQ+B，q+C曰易得[GPH=a或／GPH：180。一a，在两种情况下都有tan2／_GPH=tan2仅=各，，所以c。。／___GPH：_皇：4型一，．~／1+tan2a、／A2+口2’所以d=IPHI=IPGICOS[GPHI=IAzo+Byo+C．BIlA石o+Byo+ClB0丽如丽j6用三角形面积公式推导点到直线距离公式两点间距离公式的推导过程中，使用降维思想构造直角三角形，受此启示，当A·B≠0时，如图4，过点P(戈。，Y。)分别作平行于菇轴，Y轴的两条直线，分别交直线舭+B，，+C=0于点图4膨(一TByo

8、+C，殇)、群(算：，一垒兰与笋)，贝4I船Pl=l"竿⋯ⅣP

9、．1％+警I．N；勾MP上ⅣP，所以RtAMPN中，由直角