传递函数2.4典型环节的传递函数

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1、工程控制原理2.数学模型与传递函数主讲：彭艳gongchengkz@163.com办公室：机械楼205室电子邮件：pengyan@shu.edu.cn办公电话：56334137拉普拉斯变换回顾拉普拉斯变换复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯反变换拉普拉斯变换简表(待续)序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t(单位斜坡函数)1s2拉普拉斯变换简表(续1)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e-at

2、1s+a7tne-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181T1Ts+1tTe拉普拉斯变换简表(续2)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t>0)象函数F(s)=L[f(t)]9sints2+210costss2+211e-atsint(s+a)2+212e-atcosts+a(s+a)2+2(1)分母B(s)无重根系数ak称为极点s=-pk处的留数。2.2.5拉普拉斯反变换如p1和p2是共轭复数时，则留数1和2也必然是共轭复数(2)分母B(s)有重根若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为2.2.5拉普拉斯反变换2.2.5拉普

3、拉斯反变换依此类推，当p1为k重根时，其系数为：比例环节惯性环节微分环节典型环节传递函数2.3传递函数微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。2.数学模型与传递函数拉氏变换方便直观地描述零初始条件下的单输入单输出系统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工具。根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。传递函数得到代数方程(复数域)，使解算简化而方便。2.3.1传递函数的定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统（或环节）输

4、出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3传递函数即可见传递函数是描述系统的一种数学方式。G(s)Xo(s)Xi(s)输入信号经系统(或环节)传递[乘以G(s)]，得到输出信号。称G(s)为传递函数2.3.2传递函数的求法设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程描述2.3传递函数式中，n≥m。当初始条件全为零，即：xi(t)和xo(t)及其各阶导数在t=0的值均为零时，对上式进行拉氏变换2.3.2传递函数的求法由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函数。得到系统（或环节）传递函数的一般形式2.3.3传递函数的特点2.3传递函数(1)分母是系统的特征多项式，代表系统

5、的固有特性，分子代表输入与输出的关系。传递函数表达了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。(2)传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。(4)传递函数是复变量s的有理真分式，m≤n，且所具有复变函数的所有性质。2.3传递函数传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。如果s的最高阶次等于n，则称这种系统为n阶系统。例题已知系统微分方程，求其传递函数。解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得整理得到描述系统的传递

6、函数2.4典型环节的传递函数控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同的数学模型。2.数学模型与传递函数在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节。复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这些典型环节的传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。2.4典型环节的传递函数2.4.1比例环节比例环节的传递函数为如果一个环节的输出与输入成正比例，既不失真也不延时，则称此环

7、节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为比例环节的增益，或称放大环节的放大系数KXo(s)Xi(s)比例环节的方框图2.4.1比例环节例题求图示一齿轮传动副的传递函数。ni、no分别为输入轴及输出轴转速，z1和z2为齿轮齿数(假定系统为：齿轮副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态)。解：因为经拉氏变换后齿轮副的传动比比例环节：略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为转速、输出为电压)、电子放大器，等等z1z2no(t)ni(t)齿轮传动副2.4典型环节的