常用数列求和方法

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1、常用的数列求和方法数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学课程的学习，开拓中学生的知识领域都十分有益。这个开阔、有趣的“数列求和”的世界，可以极大的丰富我们的数学知识，提高我们的数学思维能力。其中最重要的是等差数列和等比数列的和。我们采用倒序像相加法和错位相减法推导他们的前n项和。除此之外还应掌握有等差数列和等比数列这两个基本数列出发组合变形构造的新数列的求和方法。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。对各种类型的数列给出数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学课程的学习，开拓中学生的知识领域都十分有益。对

2、各种类型的数列给出求和的主要方法与实例。这些方法是我们求一般数列的通法。一：公式法直接利用公式求和 ，如果是等差、等比数列可直接利用其求和公式求和，而有些特殊的常见数列则应记住其求和结果，以便于应用。直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式：③1+3+5+……+(2n-1)=，，例1、（1）求和：（2）已知，求×××++×××+++nxxxx32的前n项和.例2：是等差数列，前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和．解析：运用等差数列的性质：若，则．∵，∴．因此，．点评：在运用公式求和

3、时，已知可以求，但往往在不易求得这些值时，利用“整体值”求和十分有效，这种“整体值”的运用在后面的等比数列求和时也常用．练习：已知等比数列中，，，则.例3.求数列的前项和已知数列的前项和，求数列的前项和．解：，当时，，当时，也适合上式，∴时，，令，则，∴时，；当时，．（1）当时，；（2）当时，．故点评：对于带绝对值号的数列求和问题，应先弄清取什么值时，或，然后再求解．练习：1..在等差数列中，是数列的前n项和，（1）（2）若，求.二.错位相减法求和。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}的前n项和，其中{an}、{bn}中一个是等差数

4、列，一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。例1.分析：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，符合错位相减法的特征，可通过错位相减转化为等比数列的求和来解决。三.分组法求和。有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．例3.求数列的前n项和：分析：所给数列是一个等差数列与一个等比数列的和，故可拆开分组求和。解：前一个括号内是一个

5、等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此例3.求数列的前n项和。分析：因为所以该数列的和就是数列的和，这可用求和。解：例2、求下列数列的前n项和（1）四.倒序相加法求和。这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。例：求的和．例：求的值解：设………….①将①式右边反序得：……②又因为，①+②得：＝89∴S＝44.5练习：若，求；五：裂项相消法。 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。“裂项”是手段，“相消

6、”是目的，所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“裂”成一个常因子与两项差的积，例如分子为某一常数，分母是由等差数列的相邻项乘积形成的分数数列的求和一般选用裂项相消法。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)常见的拆项公式有：（6）（7）；(如)例5、1：3：求的和．六.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。例题六：求的和基本练习1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝________

7、________.2.设，则＝_______________________.3..4.=__________5.数列的通项公式，前n项和6的前n项和为_________提高练习：1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N都有：am＋n＝am＋an＋mn，则()A．B．C．D．2．数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N，则数列{}前10项的和等于()A．100B．85C．70D．553．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等