2018年山东省数学高中人教A版学案选修2-2：教案推理和证明

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1、推理与证明教学内容学习指导【学习目标】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。3.了解分析法、综合法、反证法，会用能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【学习重点】了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。【学习难点】了解间接证明的一种基本方法一一反证法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；即使感悟回顾•预习(-)推理：1.合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事

2、物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理.(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理.(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据己有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、査比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2.演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，

3、推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理•简言Z,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断.(二)、直接证明回顾知识内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示得到一个明显成立的条件(三)、间接证明反证法：假设

4、原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾・因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.(四)数学归纳证题的步骤：(1)证明当n取第一值%(听心吋命题成立:(2)假设n=k(k^/7%keN)时命题成立，证明当门二k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从勺开始的所有正整数n都成立。注：1、第一个值％是否一定为1呢？不一定，要看题目中n的耍求，如当n$3时，则第一个值禺应该为3。2、数学归纳法两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，

5、也叫归纳递推。两者缺一不可。课前自测1.由真命题遵循演绎推理规则得出命题q,则g(0A.一定为真B.一定为假C.不一定为真D.以上都不正确2.下面几种推理是合情推理的是(C)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180。，归纳岀所有三角形的内角和都是180。；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180。,四边形内角和是360。，五边形内角和是540。，由此得凸n边形内角和是(n—2)・180°A.①②B.①③C.①②④D.②④3.用反证法证明命题“三角

6、形的内角至多有一个钝角”吋,假设正确的是(B)A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角°•设a,b,c是DABC的二边,S=a2+/?2+c2>P=ab+bc+ca，则(D)S>2PB.pPD.p

7、条时，第一步验证77等于(C)A.1B.2C.3D.0自主合作•探究例1请用类比推理完成下表:平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积二角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一二角形的面积等于其内切圆半径与二角形周长的乘积的一半三棱锥的体积等于其内切球圆半径任意一个面的面积与该面上的髙的乘积的三分之一例2用三段论的形式写出下列演绎推理.矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等；大前提：矩形的对角线相等小前提：结论：正方

8、形是矩形正方形的对角线相等例3已知a>0,b>0,且a+b=l,试用综合法分析法证明不等式(a+—)(b+—)>—ab4【证明】・・・日>0,〃>0且日+〃=1,故0<5<1,O