矩阵的对角化及其应用

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1、分类号：单位代码:10452临浙大学理学醍毕业论文（设计）矩阵的对角化及其应用2013年3月20日摘要矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重耍的意义.木文对可对角化矩阵做出了较全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论总结出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换ABST

2、RACTMatrixdiagonolizationproblemisanimportantprobleminmatrixtheorydiagonolizationmatrix,asakindofspecialmatrix,intheoryandapplicationhastheextremelyvitalsignificance・Thispaperhasmadediagonolizationmatrixanalysisandgeneralization,andusinghigheralgebraandlinearalgebraaregiventher

3、elevanttheoryofmatrixseveralconditionsdiagonolization,alsodiscussedthematrixofthediagonalshapeofmethod,andfinallysummarized;diagonolizationmatrixinhighpower,thepolicyofusingeigenvaluebegdeterminantbycharacteristicvalueandvalue,featurevectorreversematrix,judgmentmatrixissimilar,

4、vectorSpaces,theapplicationoflineartransformation,etc.Keywords:Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation目录1引言12矩阵对角化12.1可对角化的几个条件12.2可对角化的矩阵的性质32.3矩阵的对角化52.3.1用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法52.3.2利用内积构造齐次线性方程组的方法73矩阵对角化的应用103.1求貝有线性递推关系（组）的数列的通项式与极限103.2求解行列式的值1

5、43.3对角矩阵的其他方面的应用154结论19参考文献19致谢211引言对角化矩阵在求解一类具冇递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式、求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、曲特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、在向量空间、线性变换等方面的应用.对角矩阵贯穿于高等代数之中，有着十分重要的作用.定义1・1对角矩阵是一个主对角线Z外的元素皆为o的矩阵•对角线上的元素可以为0或其他值•因此n^n列的矩阵4二（aM.）若符合以下的性质：％=0,i工j,（ij=l,2,…，n）.形如.1丿定义1.2矩阵可对角化：设b是n维线性空间V的一个线

6、性变换，如果存在V的一组基，使b在这组基下的矩阵为对角矩阵，贝U称线性变换b可对角化.定义1・3矩阵A是数域P上的一个〃维方阵，如果存在数域P上的斤级可逆矩阵八使厂gT为对角矩阵，则称矩阵A可对角化.2矩阵对角化通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换（初等变换）后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵（这个矩阵称为对角阵），这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所冇矩阵都能对角化.2.1可对角化的几个条件矩阵可对角化在求矩阵的高次慕中冇重要应用，矩阵的对角化冇多种判别方法•本节对矩阵对角化作一点讨论，引理2.1设4,BeP,

7、,xn,AA2=AfB2=BfAB=BA.则存在可逆矩阵P,使A,B可同时对角化.引理2.2如果P二dicig（入，俎，…,入）w严"有斤个互不相同的对角元，对某个BePnxn,则PB=BP当切仅当B本身是对角阵.J而且每个与对角由于任意一个幕等矩阵A（A2=A）必相似于对角矩阵°矩阵都可以进行谱分解，即A二£&人，其中人是人的特征值，4为幕等阵•那么f=l任意有限个幕等阵的线性组合是否对角化？有如下结论：定理1・1以A二+心人2+…+心亠，灯kv…，C为11个数，△i，A2,―,亠为n个幕等阵，且两两可换，即厶亠二△」△，（心丿），则A可对角化.证

8、明厶，A2,…，乞为口个幕等阵，月•两两可换•由引理1可知，存在可逆阵片，使亠，A2,…，亠可同时对角化•即