数字信号处理课件第2章

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1、第2章离散时间信号与系统的Z域分析2.1Z变换的定义及收敛域2.2Z反变换2.3Z变换的性质与定理2.4Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系2.5傅里叶变换的定义及性质2.6利用Z变换求解差分方程2.7离散时间系统的系统函数和频率响应在离散时间信号与系统中，变换法是变换域分析法中最重要的一种。变换在离散时间信号与系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的作用。它把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引出，也可以在离散域直接给出。2.1变换的定义及收敛域2.1.1z变换的定义

2、一个序列的变换定义为其中，是一个连续复变量，也就是说，变换是在复频域内对离散时间信号与系统进行分析。由定义可见，是一个复变量的幂级数。亦可将变换表示成算子的形式：基于此，变换算子可以看作是将序列变换为函数，二者之间的相应关系可记为由式（2.1.1）所定义的z变换称为双边z变换，与此相对应的单边z变换则定义为（2.1.2）显然，只有为因果序列（即）时，其单边z变换与双边z变换才是相等的。2.1.2z变换的收敛域1、收敛域的定义由定义式，只有幂级数收敛时，z变换才有意义。对于任意给定的序列，使其z变换所定义的幂级数收敛的所有z值的集合称为的收敛域。收敛的充分且必

3、要条件是绝对可和，即为使上式成立，就须确定取值的范围，即收敛域。由于为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即其中，、称为收敛半径，可以小到0，而可以大到。式（2.1.4）的平面表示如图2.1.1所示。图2.1.1环状收敛域jIm（z）Re（z）常见的一类z变换是有理函数，即使的那些z值称为的零点，而使的那些z值称为的极点。零点、极点也可能包含处的点。由于在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。2、序列形式与其z变换收敛域的关系每一项都有界则必有（1）为有限长序列当、时，显然在内的z值都满足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，如图2.1

4、.1(b)阴影区域所示。当、时，除去原点外的z值都满足条件，收敛域为除去原点的z平面，即；当、时，除去无穷远点的z值都满足条件，收敛域为除去无穷点的z平面，；特殊的，当、时，收敛域为整个z平面，即。（2）为右边序列当时，为z的负幂级数，根据级数理论，存在一个收敛半径，在以原点为中心、为半径的圆外处处收敛，即收敛域为。此时的为因果序列，因此，在无穷远处收敛是因果序列的特征；当时，可写为上式右端第一项是（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为；第二项为的负幂级数，同样其收敛域为。因此，的收敛域为二者的重叠区域，即，如图2.1.3(b)阴影区域所示。（3）为

5、左边序列当时，为z的正幂级数，根据级数理论，必存在一个最大收敛半径，在以原点为中心、为半径的圆内处收敛，即收敛为；当时，可写为上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域为；第二项为（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为。因此，的收敛域为二者的重叠区域。（4）为双边序列通过（2）、（3）中的讨论可知，上式第一项为右边序列(因果序列)，其收敛域为；第二项为左边序列，其收敛域为；若，则取交集得到双边序列的收敛域为，这是一个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。表2.1.1序列的形式与z变换收敛域的关系2.1.3常用序列的z变换（1）单位抽样序列z

6、变换收敛域为整个z平面（2）单位阶跃序列z变换当，即有的零点为，极点为。（3）单位斜变序列由（2)中讨论可知将上式两边对z求导得两边同乘以-z得的z变换当，即（4）右边指数序列这是一个右边序列，其z变换为当，即时，有零点为，极点为（5）左边指数序列这是一个左边序列，其z变换为当，即时，有零点为，极点为（6）双边指数序列该序列的z变换若，则上面的级数收敛，得到该序列的双边z变换的零点位于及，极点位于与处。前已提及,z变换的收敛域内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出，的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点为边界，对于多个极点的情况：1）右边序列z变

7、换的收敛域一定在模值最大极点所在的圆外，可能包含；2）左边序列z变换的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内，可能包含。2.2z反变换与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离散时间系统中，应用z变换的目的是为了把描述系统的差分方程转换为复变量z的代数方程，然后写出离散系统的传递函数（z域传递函数）、做某种运算处理，再用z反变换求出离散时间系统的时间响应。2.2.1部分分式展开法在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统中，当的表达式为有理分式时，z反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将分解成多个部分分式之和，然后对各

8、部分分式求z反变换，则所求序列就是各部分分式的z反变