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《第19讲几何图形的计数问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十九讲*几何图形的计数问题在儿何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到i些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.例1如图1—65所示，数一数图屮冇多少条不同的线段？ABCDEFE1-65解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF共5条;(2)以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条;(3)以C为左端点的线段有
2、CD,CE,CF共3条；(4)以D为左端点的线段冇DE,DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条.所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条).一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n・1)+・・・+2+1二n(n+1)/2例2图1—66屮有多少个三角形？解以0A为一边的三角形有△OAB,AOAC,AOAD,AOAE,AOAF共5个；以0B为一边的三角形还有4个(前面己计数过的不再数，下同)，它们是△(»(；,AOBD,AOBE,AOBF；以0C为一边的三角形有AOCD,AOCE,ZiOCF共3个；
3、以0D为一边的三角形有AODE,ZiODF共2个；以0E为一边的三角形有△()£，一｛・所以，共有三角形5+4+3+2+1=15（个）.0图1-66说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数.一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n・l)+・・・+2+1二n(n+l)/2・例3(1)图1—67中一共有多少个氏方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)•同样，宽的一边上不同的线段也有10条.51281图1一
4、67所以，共有长方形10X10=100(个).(2)因为t的一边上的10条线段氏分别为5,17,25,26,12,20,21,8,9,1,宽的一边上的10条线段长分别为2,6,13,16,4,11,14,7,10,3.所以，所冇长方形而积和为(5X2+5X6+—+5X3)+・・・+(lX2+lX6+・・・+lX3)二(5+17+・・・+l)X(2+6+・・・+3)二144X86=12384.例4图1—68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类屮三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个（WAABC）,第二大的三角形有1+2二3（个），
5、第三大的三角形冇1+2+3=6（个），第四大的三角形有1+2+3+4二10（个）,第五大的三角形有1+2+3+4+5二15（个），最小的三角形有14-2+3+4+5+6+3=24（个）.我们的计数是有规律的.当然，要注意在AABC外面还右三个最小的尖向上的三角形（左、右、下各一个），所以最小的三角形不是21个而是24个.于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24二59（个）.图屮共有三角形59X2=118（个）.例5图1—69屮有多少个等腰直角三角形？解图1—69中有个点.在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数.因此，共有等腰直角三角形4X8+5X16
6、+6X4+10X4+8X4+11X4+16X1二268(个).456XXXXXXXXXXXE1-69例6(1)图1—70(3)中有多少个三角形？(2)图1—70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1—70(a)中有6条直线.一般來说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如杲相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了.从6条直线中选3条，有6X5X4种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1—70Q)小，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形.(2)图1—70(b)中有7条直线,从7条直线中选3条,有种选法.每不过同
7、一点的3条直线构成一个三角形.图1—70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1—70(b)屮的三角形个数是35-2-4=29(个)・说明从6条直线中选2条，第一条冇6种选法，第二条冇5种选法,共有6X5种选法.但是每一种被重复算了一次，例如1丄与1丄实际上是同一种,所以，不同的选法是6X5^2=15种.从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有
