专题八：浅谈排列组合中的分组问题

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1、浅谈分组问题在讲到“排列，组合”这部分知识的时候，都要遇到分组问题：例如：把十个人分成两组，每组五个人，进行篮球比赛。有几种分组方法？大部分同学的答案是：Cf0=252（种）。这个答案是否止确？我们不妨拿个最简单的例子来验证一下，两个人分成两组每组一个人，按上面的计算方法应有C；=2（种）方法。显然这是一个错误的答案,应该只有一种分法。那么，上面的算法错在那里呢？错在把从十个人中每次抽出五个人的一个“组合”误认为是一种“分组”。把十个人均分成两组和从十个人中每次抽出五个人的一个组合是两个既有联系又有本质不同的两个概念，它们不是一一对应的关系。我们可以这样来考虑：假设这

2、十个人有五个人穿白色球衣，另五个人穿红色球衣,则按红，口分开就是一种分法。而从这10个人中抽出5个穿口色球衣的人就是从这10个人中抽出5个人的一个“组合”，再抽出5个穿红色球衣的人，又是一个“组合”。这两个“组合”对应的是同一种分法。弄清了这个问题，我们就不难知道以上问题的答案了，分法应是：丄C；°=126（种），即两个“组合”对应一种分法。还是这个问题,2若是均分成5组，每组两个人，应有多少种分法呢？我们再拿一个易于理解的例子来研究一下：斤个人均分成组斤，显然只有一种分法。而按组合的算法应有：C：••…c；c»!种分组方法。显然结论错误。错误出在：我们把组添加了“顺

3、序”，而我们的分组是不须要顺序的，因此应消去这个“顺序”。分法为：n这样，前面10个人均分成5组的分法为：W铲C=945种。结论：一般地，若有用7个人，均分成斤组，每组加个人，分组方法有・.°加・舁•°加（〃一1）•°（〃一2）°2“厂（种）n以上我们讨论的是均分问题，还拿前面的例子来说,若不是均分,而是一组3人，一组7人，应有多少种分法呢？显然，这时从10个人中每次抽出3个人（或7个人）的一个组合就对应着一种分法，应有①（或C：））种分法。推广到一般的情况：有N个人，分成互不相等的加组，每组的人数依次为：Q,©•••，©（其中工Q严N）,我们可/=1以分加个步骤

4、来考虑：第一步，从N个人中抽出Q个人，有第种取法；第二步：从剩余的N-Q个人中取出Q个人，有C紀q种取法；…第加-1:从N-Qt-Q22”,_2）中取出个人有Cn-q'-q20,„,.2）种取法,最后把剩余的Q”个人全部抽出有Cg：=l种取法，完成这加个步骤后，就完成了分组，由分步记数原理应有：•C爲)-Q-Q)•0:种分组方法。其中Q•（心1,2,3,・・・,加）互不相等。史一般地，如总人数为N,有"个组，每组q个人，有加2个组,每组佝个人，…，有卩个人，每组®个人，其中严N。可这样来考虑:第一步：从N个人中选出％申个人，有久讪种选法。再把加宀个人均分为f个组，应有

5、以••…G；C：种分法,从而第一步共卑！1一1）川1有.c?"伤。幼UN如《NJ心）A，m}!("T)qCz〃心呻种方法。m}!第二步：从N_叫叫个人屮再取出加02个人，在把加2^2个人均分为"个组，每组〃2个人，有：「址Cfh■N-mjh-(加2-l”s种I方"法。C®吕・CV•…C勺吕第丿步：同理应有—:—―中方IHj!由分步计数原理，总的分法为：cm…©［如”vv…叫T皿...C'jJJ-iN-工叫Ui=lC；：j——种。