二次函数背景下不等式题目解法探讨

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1、二次函数背景下不等式问题解法探究函数问题历来是高考命题的重点，考查内设计新颖，形式多样，综合性强•苴中以函数为不等式问题，是知识网络的一个交汇点，同时也是咼考命题的热点问题之一。探求二次函数背景下的不等式问题，实质是将二次函数的有关性质进行适当转化，再归结为某个不等式问题•其中二次函数性质的基本中义和图象特征，是问题转化的知识基础.因此，在实际解题中要注重从概念、图象出发，进行逻辑分析、推理和判断，并结合不等式的相关知识求解问题结论。一、借助不等式性质，实现参数代换转化例]、已知函数f(x)=ax2+bx^-c(ayb,c

2、eR)9当xg[-1,1]时1/(兀)151,求证：(1)I/?1<1;(2)若g(x)=bx2+ox+c(a,b,cwR),则当xw[-1,1]时，求证：Ig(x)l<2o分析：本题中所给条件并不足以确定参数以，c的值，但应该注意到:所要求的结论不是b或g⑴的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此我们可以把用/(-1)、/(0)>、f(l)来表示恥，co证明：(1)由/•(i)=a+b+cJ(-l)=a-b+c=>b=g[/(l)_/(-l)],从而有Ib1=

3、[/(1)一/(-I)]<

4、(l/(I)I+I/(-I

5、)I),」/(Dl

6、[/(1)+/(-1)]-/(0)将以上三式代入g(x)=bx2+ax--c(a.b.ceR),并整理得911Ig(Q1=1.f(0)(/—l)+-/(l)(x+l)+-/(-l)(l-x)I.l/(0)(^-l)l4l/(l)(.+l)l+l

7、/(-l)(l-x)l=l/(0)lx2-ll+-l/(l)IIx+11+丄丨/(-l)lll-xl?119119—1丨—l

8、x+ll—11—X1=1—X*"H—(x+1)—(1—x)=2—X*"2222评析：二次函数的一般式y=o?+加+c(心0)中有三个参数d“,c・解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.二、借助函数与方程根的关系，巧用零点式出奇招。例2、设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数/(X)的表达式.证明：由题意可矢口/(x)-x=a(x-x})(x-x2).v00,当时，

9、/(x)>x.又f(x)-X)=a(x-X])(x-x2)+x-%)=(x-x,)(ax-ax2+1),x-x{<0,且or-处2+1>1-ax2>°，••f(x)

10、数y=h(x)的解析式；(3)设F(兀)=—f(x)+h(x)9已知F(兀)的最小值是加且加>2+“,求实数。的取值范围。解：(1)g(x)=/(x-2)=2-2-^;(2)设y=h{x)的图像上一点P(x,y),点P(x,y)关于y=1的对称点为Q(x,2-y),由点Q在y=g(兀)的图像上,所以2心一-=2_y,于是2)=2-2“+宾，即/i(x)=2—2A~2a+2X~2(4a_1)2X+2.设t=2x,(3)F(x)=-/(x)+/z(x)=a则f（兀）=土已+伫1+2・问题转化为：土已+如+2>2+"对/〉04a

11、t4at恒成立.即上£/2_伤+（4°_1）>0对/>0恒成立.（*）4a故必有上£>0・（否则，若—V0,4a4a则关于/的二次函数叩）=上£厂_伤+&_］）开口向下，当/充分大时,4a必有u（t）<0;而当匕二0吋，显然不能保证（*）成立・），此吋，由4a于二次函数叩）=上仲一伤+（牝_1）的对称轴心£>0,所以，问4a4-a8a4—ci—>0.题等价于^<0,即4a_，解之得冷JV2・7-4・^^・(4a-l)v024a止匕吋，^->0,4«-1>0,故尸（兀）二^^+^^+2在『=4a4a4c(4d_l)取得4-a

12、—•（4。-1）+2满足条件.4ci四、借助函数图象，数形结合显神功二次函数f（x）=ax2+bx+c（qhO）的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观.（-）利用对称性求解例4、设二次函数，方程的两个根满足.口函数的