3-微分中值定理及导数应用习题课

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1、第三章微分中值定理及导数的应用习题课一、小结1、微分中值定理及其相互关系f(a)=f(b)罗尔定理拉格朗日中值定理f′(ξ)=0f(b)−f(a)f′(ξ)=yg(x)y==xf(x)b−ag(x)=xf(a)=f(b)n=0yy=f(x)oabx柯西中值定理ξ泰勒中值定理f(b)−f(a)f′(ξ)f(x)=f(x)+of′(x)(x−x)0a0b0x=ξg(b)−g(a)g′(ξ)1(n)n+L+f(x)(x−x)n!001(n+)1n+1+f(ξ)(x−x)(n+!)10机动目录上页下页返回结束2、一

2、元微分学的应用(1)研究函数的性态；单调性,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率（2）解决最值问题：•目标函数的建立与简化•最值的判别问题(3)证明恒等式或不等式；利用一元微分学证明不等式的方法：用中值定理；用泰勒公式；用函数的单调性；用函数的极值和最值；用函数的凹凸性等。机动目录上页下页返回结束(4)证明有关中值问题的结论;利用逆向思维,关键是设辅助函数.一般解题方法:1*证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数.2*若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.3*若结

3、论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理.4*若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.5*若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.机动目录上页下页返回结束（5）求不定式极限：利用洛比达法则、泰勒公式；（6）研究方程实根：利用中值定理、单调性；y′′（7）曲率:k=3；+′221(y)（8）泰勒公式：f′′(x0)2f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+(x−x0)+L2!(n)f(x0)n+(x−x0)+Rn(x)n!(n+)1f(ξ)n+1n其中：R(

4、x)=(x−x)=o((x−x))n00(n+!)1(ξ在x与x之间)0当x0=0时为麦克劳林公式.机动目录上页下页返回结束常用函数的麦克劳林公式当x→0时x121nne=1+x+x+L+x+o(x)!2n!352n−1xxn−1x2nsinx=x−+−L+(−)1+o(x)!3!52(n−1)!2462nxxxnx2n+1cosx=1−+−+L+(−)1+o(x)!2!4!62(n)!23nxxn−1xnln(1+x)=x−+−L+(−)1+o(x)23n12nn=1+x+x+L+x+o(x)1−xmm(

5、m−)121(+x)=1+mx+x+L!2m(m−)1L(m−n+)1nn+x+o(x)n!机动目录上页下页返回结束作业习题3-8(P229)2,3,5,8,10(3)(5)(8)，12(1)(3)，13(2)(4),14，16,18,20,22,24，26，28，30，32，34，36机动目录上页下页返回结束二、典型例题π5π例1验证罗尔定理对y=lnsinx在[,]上66的正确性.解QD:2kπ

6、π5π并且f()=f()=−ln266机动目录上页下页返回结束π5π∴函数y=lnsinx在[,]上满足罗尔定理66的条件.由y′=cotx=,0π5ππ在(,)内显然有解x=.662π′取ξ=,则f(ξ)=.02这就验证了命题的正确性.机动目录上页下页返回结束2x例2求极限lim.5x→01+5x−1(+x)解Q分子关于x的次数为.2155∴1+5x=1(+5x)111122=1+5(x)+⋅(−)1⋅5(x)+o(x)5!25522=1+x−2x+o(x)2x1原式=lim=−.22x→01[+x−2x

7、+o(x)]−1(+x)2机动目录上页下页返回结束sinxe−x−cosx例3求极限lim.2x→0arcsinx解1用洛必达法则求sinxsinxe−x−cosxe−x−cosxlim=lim22x→0arcsinxx→0xsinxecosx−1+sinx=limx→02xsinx2sinxecosx+e(−sinx)+cosx=lim=1x→02机动目录上页下页返回结束解2用泰勒公式求x1222e=1+x+x+o(x,)sinx=x+o(x)!2sinx21222e=1+(x+o(x))+(x+o(x)

8、)+o(x,)!2122=1+x+x+o(x,)2122cosx=1−x+o(x)2sinx22e−x−cosx=x+o(x,)sinx22e−x−cosxx+o(x)lim2=lim2=1x→0arcsinxx→0x机动目录上页下页返回结束2x例4)1(求极限lim2(ex−1−)1x−1.x→122xxx−1limln(2e−)1lim2(ex−1−)1x−1=ex→1x−1解x→1x−1x−12ln(2e−