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1、高等代数论文课题：矩阵及其应用学生姓名：欧习昌学号：110701010039系部：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2011数本1班矩阵及其应用［摘要］矩阵是数学屮的一个重要内容，是线性代数的主要研究对象；在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用.本文介绍了矩阵的概念、分类及性质；讨论了它的加法，减法，数乘、方阵的行列式及矩阵的求逆和矩阵的分块等运算方法和运算规律等问题;简单说明了它在冇些领域的应用.［关键字］矩阵性质运算规律行列式应用［正文］一、矩阵的概念已知n元线性方程组=b=b。a22x2H—+a2nxnd
2、]
3、X
4、+a]2x2+・・・+a]nxnan2X2+・・・+°衲兀“的系数及常数项可以排成m行,n+l列的有序矩阵数表:a\a2a]2a°。a泊仏2…这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程纽,aXa2nh2••••••%b,n对它的研究可以判断它的解的情况.定义1矩阵设77M个数(Z=1,2，…，加；j=1,2,•••,〃)排成加行斤列的数表川括号将其括起來，称为mxn矩阵，并用大写字母表示，即aua!2…%a2■■•a22••■…a2n■■•，简记为A=(a,)_%佥2•••dmn下面给出一些特殊矩阵：1-行矩阵m=lA=(a^
5、a2,--9an)lxn；2.列矩阵n=l；3.零矩阵4=(0)”呦(不同型的零矩阵是不同的);4.方阵加”,A=(«..)_,称为n阶方阵._10•…o-5.单位矩阵E“二...•::-.00…01200…o'••••••对角矩阵A=■■■■■■00•••（）:、矩阵的运算（一）矩阵的加法1•定义2设有两个〃风〃矩阵A=（c【ij）,B=（bij），矩阵5+/?1]a2+九…a+b畑+/?2i■■a22+/?22■■…a2n+b2„••••%•+bmam2•+山2•••••ci+bmnmn=A+Bf称为矩阵力与0的和，记
6、为A^B.2.运算规律：①交换律——A+B=B+A^②结合律——（4+B）+C=A+（B+C）；③A+（-A）=O；®A+0=A・（二）数与矩阵相乘加12^Cl“1.定义3矩阵加21■'加ml称为数2与矩阵M的乘积，2•运算规律：①结合律——（2//）A=（Z4）//=2（M）；②矩阵关于数加法的分配律——（2+=Z4+M;③数关于矩阵加法的分配律——Q（4+〃）=M+茁.注:利用数乘也町以定义负阵和减法.（三）矩阵与矩阵相乘1•定义4设是虫一个处s矩阵，2是一个缺刀矩阵，记矩阵力与於的乘积AB=C=(Cij),其中Q是一个〃/X/?
7、矩阵，Cjj=ailblj+ai2b2j+aisbsj=^aikbkjg=l（心12…皿；丿•=12…左矩阵的列数=右矩阵的列数.解:求矩阵叫；()2丿-1213的乘积•0134丿‘4+0+6-11+0+0-3()+()+3-4、"9-2-1、&一1+0+22+1+0+60+3+0+8丿、9911,AB=2•矩阵的幕：定义4设弭是〃阶方阵，定义A[=A,a2=a14】=A4,…,^+1=4%=44二4，k*+1个4正整数.2.运算规律：①结合律——(AB)C=A(BC)；②数乘结合律——A(AB)=(AA)B=A(AB)；③分配律——
8、左分配律：A(B+C)=AB+AC；右分配律：(B+C)A=BA+CA:④乘单位阵不变EmAtnxn=Amxn,AmKnEn=Amxn；⑤乘方的性质——AkAl=Ak+l^(Ak)l=Akl.(四)矩阵的转置1•定义5把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为才.z、(13、(120、'例如，4=*的转置矩阵为Ar=2-1.I。1丿2•矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律：①(转置再转置)——(AT)T=A,②(和的转置)——(A+B)t=Ar+Bt；③(数乘的转置)——(A4)r=A4r；④(乘积的
9、转置)——(AB)t=BtAt.(五)方阵的行列式1•定义6方阵力的元素位置不变构成的行列式称为方阵力的行列式，记为
10、A
11、或de".r1-28、r1-23、设心-10-1B=•-12-1,则=-7,
12、B
13、=0.实际上，方阵的行列式若按其值分<°10丿r.2-40z为两类：0或非0,若二0,则称为非奇界方阵，否则也奇界方阵.1.运算规律①(转置阵的行列式)——"=
14、4
15、；②(数乘的行列式)——
16、A4
17、=2W
18、A
19、；③(乘积的行列式)——AB=A]B.④乘方的行列式性质：
20、AM
21、=A.3•伴随矩阵由行列式
22、团各元索的代数余
23、子式构成的矩阵S]]人21…心、A*=A]2■•■人22■••…An2••••••jA】”A2”•••^nn/称为昇的伴随矩阵。可以得到：AA*=A^A=AE.三、逆矩阵㈠、定义1•定义7对于〃阶方阵凡若存在刀阶方阵
