平稳过程的谱分析

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1、第二章平稳过程的谱分析§1谱理论简介我们知道，由Wold分解定理，一个平稳过程£可以找到一个平稳的ARMA(p,q)來近似。且己知)[，…，丹，当Ttoo,我们可以一•致的估计ARMA(p,q)模型中的未知参数，并由此来把握平稳过程£。现在，我们换一个角度看乙，把所有二阶矩平稳过程看成为一个Hilbert空间，那么，由Hilbert空间的谱表示定理，任何一个二阶矩平稳过程匕都可以表示成为一个右连续的正交增量过程的R—S积分，即，乙=「严dz@),zS)=AQ)+/B(0)。满足：JnE[dA(eJdA(

2、®)]=0,E[dB(0)dB(®)]=O,ViH八(正交增虽性)E[dA(a))]=E[dB(a))]=0,Var[dA(co)]=Var[dB(co)],且右连续是指均方收敛，即，E[A(q+5)—4(q)]2tO,51()。(参见MIT教本)将Yf改写成，匕=J)cos(0f)dA(e)+[sin(ef)dB(Q)。定义Var[dA(co)]=Var[dB(co)]=2dF(e),Vqw[0,刃。那么由A(q),B(q)的正交增量性和右连续性,知F(q)是一个[0,刃上的非减右连续的函数。称F(q

3、)为乙的谱分布函数。乂将dF(co)写成，dF(co)=f(co)da),则/⑺)就称为乙的谱密度函数。注意，FS)或/⑺)是由A(e),B(Q)唯一决定的，也就是由乙唯一决定的。这里唯一性指的是几乎处处唯一。反过来也正确。任给一个谱密度函数/(e)或谱分布函数F(0),可以决定一个唯一的右连续的止交增量过程，zS)=A(0)+iB@),并由z(e)决定一个唯一的平稳过程£。所以，如果我们知道某一平稳过程的谱密度函数，那么也就等于我们把握了这个平稳过程。物理或工程上e常理解成频率(完成一个周期所需的吋间

4、)，所以，谱分析就是通过了解频率也称周期成分來把握这个平稳过程。请看例：乙=acos(曲)+bsin(曲)，coe[0,tt],/=0,±1,±2,…。a,b是不相关的随机变量,有期望0和方差”2。那么这个过程是一个平稳过程。有，EYt=Ofr()=VarYt=a2,yk=E(YtY^k)=E[acos(d?0+bsin(a)t)][acos(a)(t-k))+bsin(d)(r-k))]=a2cos(ek)R=1,2,…。如果,令A^=al(0

5、式的写成上述的R—S积分，Z=]cos(m)dA(Q)+[sin(曲)dB(e)。注：如果是常数，则乙是一个(的函数。a,bM认为是加载在周期函数上的信号。如果受到T•扰，a=“]+£]b=//2+,£,邑HdN(0,a2),则a,b是随机变量。乙就是一个随机过程。这里a是任意固定的，称为棊频，常称为£的一个周期成分。可以扩大X有更多的周期成分。令5=^cos(dy)+巧sin(®r),j=・・・J。这里幻,巧是两两不相关的白噪声，且Var(aj)=Var(bj)=cy].再令，乙二工Yjf二工[勺

6、cos(®r)+bjSin(®r)],r=0,±l,±2,…。则乙是一个有J个成分J=1>1n第j个成分冇基频®•的平稳过程。简单计算冇，y严e(y(y』二j=ifb；cos(6y*),£=1,2,…。这说明，£的方差是各个周期成分的方差的和，每个成分方7=1差b；称为对总方差的贡献。乙的协方差是与时间长度k和不同棊频冇关的常函数。再令丿too,乙=£乙，=a)o乂假定，丈b；voo,可以证明X仍是一个平稳过程。7=0冃8QO又令，A(q)=工勺/(0

7、,这是一个关于q的右连j=；=i续的跳跃函数，有，A(®)—A(©)=®,B(®j)—B(©)=bj,对所有j成立。如果按大小排成一列，01谱密度函数/(劲二*b3=C0j和/(劲=0co=others。所以谱密度类似于一个概率co分布列。一冃.乙

8、=E(乙乙_&)=Ybcos(%)=2Jcos(ek)dF(69)=2Jf((v)cos(a)k)dey=i))[Jco)dcoo反之，有逆转公式:00特别，/0=V^=^)=—[/0+2Ycos(^)]2兀“1有了逆转公式，对平稳过程我们可以绕开止交增量过程，直接从平稳过程的协方差序列来定义它的谱密度函数。定义：设£是一个二阶矩平稳过程。E(YJ=p,无妨设为0,y严E(YHJ。那么定100100义Z的谱密度