5、1)2-
6、x2-1
7、+^=0,给出下列四个命题：①存在实数使得方程恰冇2个不同的实根；②存在实数使得方程恰冇4个不同的实根；③存在实数£，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的个数是.答案：①②③④例5.若关于兀的方程4忖-2屮2=k的根的个数可能是答案：0、2、3、4-^―(XH1)r例6.设/⑴彳卜-1
8、,若关于X的方程严⑴+”⑴+C二0有三个不同的1(X=l)实数根西，兀2，兀3，则X+X22+兀32等于答案:5例7、(2012年江苏省18)若函数y=f(x)在x=处取得极人值或极小值，则称兀。为函数y
9、=/(兀)的极值点。已知d,b是实数，1和-1是函数fM=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值；(2)设函数g(兀)的导函数g3“兀)+2,求g(兀)的极值点;(3)设Mx)=/(f(x))-c,其中cg[-2,2],求函数y=h(x)的零点个数.解：(1)由/(x)=%3+ax2+bx,得.广(兀)=3F+2ax+b。•・•1和-1是函数fM=x3+ax2+bx的两个极值点，・・.f(l)=3+2a+b=O,f(-l)=3-2a+b=O,解得a=0,b=-3。(2)J由(1)得,f(x)=x3-3x,・：gf(x)=/(x)+2=x
10、3-3x4-2=(x-1)2(x+2)‘解彳导西=兀2=1，=-2o；•当兀v-2时,g'Cr)vO；当一20,・・・x=-2是g(兀)的极值点。•・•当-21时,gf(x)>0,/.兀=1不是g(x)的极值点。g(兀)的极值点是一2。(3)令f(x)=t,则h{x)=f(t)-co先讨论关于兀的方程fM=d根的情况：dw[-2,2]当d=2时，由(2)可知，f(x)=-2的两个不同的根为I和一2,注意到/(x)是奇函数,・°・/(兀)=2的两个不同的根为一和2。当
11、d
12、v2时，・・•/(一1)一〃才⑵一d
13、=2—d>0,f(l)-d=f(-2)-d=-2-d<0fA—2,-1,1,2都不是/(x)=d的根。由(1)知f(兀)=3(兀+1)(尢—1)。①当xg(2,+oo)时，f(x)>0,于是/(兀)是单调增函数，从而fM>f(2)=2o此时f(x)=d在(2,+oo)无实根。②当兀w(l,2)时.f(x)>0,于是/(兀)是单调增函数。乂・・・/(l)-dvO,/(2)-J>0,y=f(x)-d的图象不间断，Af(x)=d在(1,2)内有唯一实根。同理，f(x)=d在(一2,—I)内有唯一实根。③当"(-1,1)时，fO)v0,于是/(兀)是单调减
14、两数。又・・・/(-l)-J>0,f⑴—dvO,y=fw-d的图象不间断，f(x)=d在(一1,1)内有唯一实根。因此，当d=2时,f(x)=d有两个不同的根兀］,兀2满足k
15、T'卜2〔=2；当d<2时fM=d有三个不同的根％，西，禺，满足
16、xz
17、<2,z=3,4,5o现考虑函数y=h(x)的零点：(i)当c=2时,ft)=c有两个根Sr2,满足
18、^
19、=1,
20、/2
21、=2o而/0)=叶有三个不同的根，/(x)=S有两个不同的根，故｝?=h(x)有5个零点。(11)当
22、cj<2时,f(t)=c有三个不同的根如切勺，满足k
23、v2,匸3,4,
24、5。而/(x)=r.(z=3,4,5)有三个不同的根，故y=h(x)有9个零点。综上所述，当c=2时，函数y=〃⑴有5个零点；当k、
25、v2时，函数y=h(x)有9个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】(1)求出=/(x)的导数，根据2和-1是函数y=/(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。(2)ill(1)得，/(%)=%3-3x,求出g'O),令g'(x)=0,求解讨论即可。(3)比较复杂，先分d=2和
26、d
27、v2讨论关于兀的方程fW=d根的情况；再考虑函数y=/z(兀)的零点。例8、(2007江苏卷)已知a,b,c,d是
28、不全为0的实数，函数/(x)二Zz?+cx+d,=+bx2+cx+d,方程f(x)=0冇实根，且f(x)=0的实数根都是g
