数学学年论文求极限的方法--徐俊玲

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1、珈学学年论文——求极限的方法数学与统计学院11级数学与应用数学徐俊玲学号:0510110112求极限的方法摘要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程屮常遇见的一些问题。关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言数学分析是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程屮占有极其重要的地位。数学分析许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限

2、定义的，离开了极限的思想数学分析就失去了基础失去了价值，因此极限运算是数学分析的基木运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又曲于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重耍的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。二具体方法1•利用函数极限的四则运算法则来求极限定理12若极限和limg⑴都存在，则函数于（兀）士g（x），/（x）-g（x）X->A0XTX当X

3、T兀0时也存在且①士gO）］=lim/W土lim曲）X->X0XT’o②liml/W•g（“）］=lim/Wlim^W又若limgW"则加在XT心时也存在g⑴limXT%•f(x)g(x)lim/Wlimg⑴•if0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如竺、9等情况，都不能直接用四则运算法则，000必须更对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。r2—4例1：求lim-—r心2-X_Z解：原式二lim*2｛；+2）=Hm

4、G+2）=o1•用两个重要的极限来求函数的极限①利用lim沁i來求极限,r->0兀lim=1的扩展形为:x->0%令g（x）T0‘当兀T兀。或X—>00时’则有例2：也）g(x)=1limsinx71-X解：令t-7i-x•则sinx二sin(/r-t)=sint,且当xm时/tO+Arsinx—sinr1収lim~—=lim-—=1XF71—X/->0I例％求lim心二1XTl*—1解:原式=nm(^O(sin(x2-l))XTl(x+1X^-1)XTlJC-1②利用］im（i+丄）=幺来求极限XTOOXlim（i+—）=幺的另一

5、种形式X—>0C兀lim（i+Q）"=£•事实上，令I1-Xa->0a=—.xtoooqto•所以幺=]im(i+—)*=lim(i+Q)Q=eX£例4:求lim（l+2x）；的极限A->0j_j解:原式二lim（i+2兀）云•（i+2兀户XTO利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法來求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。1•利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即lim但=i•称与£（兀）是兀-心时的等价无穷g（x）小量，记作于（兀）~g

6、d）・（XTXo）・定理2②：设函数/（x）,g（x）,/7（x）在心0）内有定义,且有fM~g（x）.（兀T兀0）①若lim/（x）g（Q=人则limz（x）力（%）=人x->.v0②若啊需"则映绘H证明：①limg（x）h（x）=limvr；limf（训（兀）=^a=a①可类似证明，在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例轨求㈣監晋的极限sinx解：由tanx-sinx=(1一cosx).而sin兀〜x,(xt0)；cosx兀21—cosx,(x—>0)；sin—~兀‘，(x—>0).2x2故有

7、limx->0tanx-sinx~3~sinx=limXT（）1cosxx-X3注：由上例可以看ill,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于lim止i，故有sin兀〜x,(xtO).又由于xtO尢lirn——~=1，故有arctanx~x,(x—>0)・xtO兀另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式屮的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx〜x,(x->0);sinx〜x,(xt0).而推出limx->0ta

8、nx-sinxsinx3=0则得到的结果是错误的。4.利迫敛性来求极限定理3③：设limf(x)二limg(x)二A,且在某八(兀0,5)内有f(x)X0XfY°则limh(x)二a例6：解:且lim（i-