数学悖论与谬误的区别与联系

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1、2.1.2数学悖论与谬误的区别与联系2.1.2.1数学悖论与谬误的区别“悖论"(Paradox)一词来源于哲学和逻辑学。意指一种口相矛盾的论述，中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论最通俗的解释。悖论是一种导致自相矛盾的命题，这种命题如果承认它为真，那么它又是假的,如果承认它为假，那么它乂是真的。②例如著名的“说谎者悖论冬古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯说：“所有克里特岛上的人所说的话都是谎话。”问题也就此出现了。我们如果认为这句话是真的,那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，与岛上的人所说的话都是谎话相才盾。如

2、果认为这句话是假的，也就是说岛上也有人不说谎。因此，哲学家的这句话无论怎样也难以自圆其说，总是存在矛盾，这就构成了一个悖论。数学悖论历史悠久，一直可以追溯到2000多年前的古希腊和我国的先秦时期。数学中的悖论内容广泛，包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题。①现在“悖论”泛指那些推理过程看上去合理但结果却乂违背客观事实的结论。数学悖论的出现极大的冲了数学的严谨性，因为当时的理论体系无法解决这一矛盾，导致很长的一段时间内整个学术界的恐慌。与此同时，大批数学家们投入极大的热情

3、来解决这些问题，此过程中他们不断地完善原有的理论体系，甚至开辟出新的科学域，无形中让数学这门学科有了更加蓬勃的发展。一个错误的结论通过似乎是合乎逻辑的解释而成为正确的结就叫谬误。一般的，谬误是用來形容思维上的错误，把不正确的事情说成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可证其为错误的论证类型，也就是说经过一系列错误的推理而必然得到的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简：在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。任何一个论证都是为了说明它的

4、结果是真的，但这两种情形下是不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过程如何的止确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题，也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正确但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。由上述可知，数学悖论和谬误都是一

5、种矛盾命题，但两者之间也有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系的的不断充实和完善悖论也就随之消失。谬误在学习的任何过程中都有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。2.1.2.2数学悖论与谬误的联系在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常被用來解释现实世界，然而有吋经验会告诉我们，当推理和数学论证的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学或现

6、实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些“别扭"的谬误，那么数学就成为了一块“净土”。所以在某些谬误不能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如：如果x2=Y2那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的X=Y,X=-y,-X=-y,-x=Y这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为X=Y,X=-y除非x=0,否则要么这两个等式中有一个是错误的，要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错误的时候，就是一个悖论。这在数学这门学科

7、不断完善的过程中是经常会遇到的，当0还没被发现之前，某些运算，如被除中有0的运算中出现的谬误，就是一个悖论，在0出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这些著名的悖论进行简单的介绍。并列出一些屮学数学中所涉及到的数学谬误，以供同学们欣赏和研究。2.2著名悖论举例2.2.1芝诺悖论芝诺(Zeno,约公元

8、前490——前430年)是古希腊伊利亚学派创始人巴门尼德的学生，他生活在古代希腊的埃利亚城邦，因其悖论而闻名于世，是一位伟大的数学家和哲学家。遗憾的是芝诺并没有什么著作流传下来，他的生平只能从亚里士多德的《物理学》和普里西奥斯为《物理学》作的注释中可见一斑。据说芝诺一生推出了40多个各不相同的悖论，现存的芝诺悖论至少